向量范数：1-范数、2-范数、无穷范数；矩阵范数；欧几里得度量

欧几里得度量

又称为欧几里得距离，指的是欧几里得空间中两点间“普通”（即直线）距离。使用这个距离，欧氏空间成为度量空间。相关联的范数称为欧几里得范数。较早的文献称之为毕达哥拉斯度量。

在欧几里得空间中，点x=(x1,...,xn)x = (x_1,...,x_n)x=(x1,...,xn)和y=(y1,...,yn)y = (y_1,...,y_n)y=(y1,...,yn)之间的欧氏距离为:
d(x,y)：=(x1−y1)2+(x2−y2)2+⋅⋅⋅+(xn−yn)2d(x,y)：= \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\cdot\cdot\cdot+(x_n-y_n)^2} d(x,y)：=(x1−y1)2+(x2−y2)2+⋅⋅⋅+(xn−yn)2
向量x⃗\vec{x}x的自然长度，即该点到原点的距离为
∣∣x⃗∣∣2=∣x1∣2+⋅⋅⋅∣xn∣2||\vec{x}||_2=\sqrt{|x_1|^2+\cdot\cdot\cdot|x_n|^2} ∣∣x∣∣2=∣x1∣2+⋅⋅⋅∣xn∣2
它是一个纯数值。在欧几里得度量下，两点之间线段最短。

范数（维基百科）

范数(norm)，是具有“长度”概念的函数。
- 1-范数：向量元素绝对值之和
∣∣x∣∣1=∑i=1N∣xi∣||x||_1 = \sum_{i=1}^{N}|x_i| ∣∣x∣∣1=i=1∑N∣xi∣
- 2-范数：Euclid范数（欧几里得范数，常用计算向量长度），即向量元素绝对值的平方和再开方
∣∣X∣∣2=∑i−1Nxi2||X||_2=\sqrt{\sum_{i-1}^{N}x_i^2} ∣∣X∣∣2=i−1∑Nxi2
- +∞+\infty+∞范数：所有向量元素绝对值中的最大值
∣∣X∣∣+∞=max⁡i∣xi∣||X||_{+\infty} = \max_{i}|x_i| ∣∣X∣∣+∞=imax∣xi∣
- −∞-\infty−∞范数：所有向量元素绝对值中的最小值
∣∣X∣∣−∞=min⁡i∣xi∣||X||_{-\infty} = \min_{i}|x_i| ∣∣X∣∣−∞=imin∣xi∣
- p-范数：向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂
∣∣X∣∣p=(∑i=1N∣xi∣p)1p||X||_p=(\sum_{i=1}^{N}|x_i|^p)^\frac{1}{p} ∣∣X∣∣p=(i=1∑N∣xi∣p)p1
矩阵范数
- 1-范数：列和范数，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值
- 2-范数：谱范数，即A’A矩阵的最大特征值的开平方
- ∞\infty∞范数：行和范数，即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值
- F-范数：Frobenius范数，即矩阵元素绝对值的平方和再开平方
- 核范数：矩阵A的奇异值
Reference

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