模糊c均值聚类及python实现

原理简介

模糊c均值聚类(Fuzzy C-Means)是引入了模糊理论的一种聚类算法，通过隶属度来表示样本属于某一类的概率，原因在于在很多情况下多个类别之间的界限并不是绝对的明确。显然，相比于k-means的硬聚类，模糊c均值聚类得到的聚类结果更灵活。

模糊c均值聚类通过最小化一下目标函数来得到聚类中心：

Jm=∑i=1N∑j=1Cuijm∥xi−cj∥2,1≤m<∞(1)J_{m}=\sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{C} u_{i j}^{m}\left\|x_{i}-c_{j}\right\|^{2} \quad, \quad 1 \leq m<\infty \tag{1}Jm=i=1∑Nj=1∑Cuijm∥xi−cj∥2,1≤m<∞(1)

其中，m>1m>1m>1 为模糊系数(fuzzy coefficient)，NNN 为样本数，CCC 为聚类中心数，cjc_jcj 表示第 jjj 个聚类中心，和样本特征维数相同，xix_ixi 表示第 iii 个样本，uiju_{ij}uij 表示样本 xix_ixi 对聚类中心 cjc_jcj 的隶属度(通俗的说就是 xix_ixi 属于 cjc_jcj 的概率)，显然满足

∑j=1Cuij=1(2)\sum_{j=1}^{C} u_{i j}=1 \tag{2}j=1∑Cuij=1(2)

∣∣∗∣∣||*||∣∣∗∣∣ 可以是任意度量数据相似性(距离)的范数，最常见的就是欧几里得范数（又称欧氏范数，L2范数，欧氏距离）：

d=∥x∥2=∑ixi2(3)d=\|x\|_2=\sqrt{\sum_i {x_i^2}} \tag{3}d=∥x∥2=i∑xi2(3)

模糊c均值聚类通过更新 uiju_{ij}uij 和 cjc_jcj 来迭代地优化目标函数Eq. (1)：

uij=1∑k=1C(∥xi−cj∥∥xi−ck∥)2m−1(4)u_{i j}=\frac{1}{\sum_{k=1}^{C}\left(\frac{\left\|x_{i}-c_{j}\right\|}{\left\|x_{i}-c_{k}\right\|}\right)^{\frac{2}{m-1}}} \tag{4}uij=∑k=1C(∥xi−ck∥∥xi−cj∥)m−121(4)

cj=∑i=1Nuijm⋅xi∑i=1Nuijm(5)c_{j}=\frac{\sum_{i=1}^{N} u_{i j}^{m} \cdot x_{i}}{\sum_{i=1}^{N} u_{i j}^{m}} \tag{5}cj=∑i=1Nuijm∑i=1Nuijm⋅xi(5)

迭代的终止条件为 max⁡ij{∣uij(t+1)−uij(t)∣}<ε\max _{ij}\left\{\left|u_{ij}^{(t+1)}-u_{ij}^{(t)}\right|\right\}<\varepsilonmaxij{∣∣∣uij(t+1)−uij(t)∣∣∣}<ε ，其中 ttt 是迭代步数，ε\varepsilonε 是一个很小的常数表示误差阈值。也就是说迭代地更新 uiju_{ij}uij 和 cjc_jcj 直到前后两次隶属度最大变化值不超过误差阈值。这个过程最终收敛于 JmJ_mJm 的局部极小值点或鞍点。

算法步骤

可以将模糊c均值聚类的过程归纳为以下几步：

初始化隶属度矩阵 U(0)U^{(0)}U(0)，若有 NNN个样本，指定类别数为 CCC，则隶属度矩阵应当是 N∗CN*CN∗C 的矩阵；
根据式(5)更新聚类中心 cj,j=1,...,Cc_j, j=1,...,Ccj,j=1,...,C；
根据式(4)更新 U(t),U(t+1)U^{(t)}, U^{(t+1)}U(t),U(t+1)；
若满足终止条件 max⁡ij{∣uij(t+1)−uij(t)∣}<ε\max _{ij}\left\{\left|u_{ij}^{(t+1)}-u_{ij}^{(t)}\right|\right\}<\varepsilonmaxij{∣∣∣uij(t+1)−uij(t)∣∣∣}<ε 则停止迭代，否则返回步骤2。

程序实现

下面代码以Iris数据集聚类为例实现了fuzzy c-means。

#!/usr/bin/python3
# -*- coding: utf-8 -*-'''
@Date    : 2019/9/11
@Author  : Rezero
'''import numpy as np
import pandas as pddef loadData(datapath):data = pd.read_csv(datapath, sep=',', header=None)data = data.sample(frac=1.0)   # 打乱数据顺序dataX = data.iloc[:, :-1].values # 特征labels = data.iloc[:, -1].values # 标签# 将标签类别用 0, 1, 2表示labels[np.where(labels == "Iris-setosa")] = 0labels[np.where(labels == "Iris-versicolor")] = 1labels[np.where(labels == "Iris-virginica")] = 2return dataX, labelsdef initialize_U(samples, classes):U = np.random.rand(samples, classes)  # 先生成随机矩阵sumU = 1 / np.sum(U, axis=1)   # 求每行的和U = np.multiply(U.T, sumU)   # 使隶属度矩阵每一行和为1return U.T# 计算样本和簇中心的距离，这里使用欧氏距离
def distance(X, centroid):return np.sqrt(np.sum((X-centroid)**2, axis=1))def computeU(X, centroids, m=2):sampleNumber = X.shape[0]  # 样本数classes = len(centroids)U = np.zeros((sampleNumber, classes))# 更新隶属度矩阵for i in range(classes):for k in range(classes):U[:, i] += (distance(X, centroids[i]) / distance(X, centroids[k])) ** (2 / (m - 1))U = 1 / Ureturn Udef ajustCentroid(centroids, U, labels):newCentroids = [[], [], []]curr = np.argmax(U, axis=1)  # 当前中心顺序得到的标签for i in range(len(centroids)):index = np.where(curr == i)   # 建立中心和类别的映射trueLabel = list(labels[index])  # 获取labels[index]出现次数最多的元素，就是真实类别trueLabel = max(set(trueLabel), key=trueLabel.count)newCentroids[trueLabel] = centroids[i]return newCentroidsdef cluster(data, labels, m, classes, EPS):""":param data: 数据集:param m: 模糊系数(fuzziness coefficient):param classes: 类别数:return: 聚类中心"""sampleNumber = data.shape[0]  # 样本数cNumber = data.shape[1]       # 特征数U = initialize_U(sampleNumber, classes)   # 初始化隶属度矩阵U_old = np.zeros((sampleNumber, classes))while True:centroids = []# 更新簇中心for i in range(classes):centroid = np.dot(U[:, i]**m, data) / (np.sum(U[:, i]**m))centroids.append(centroid)U_old = U.copy()U = computeU(data, centroids, m)  # 计算新的隶属度矩阵if np.max(np.abs(U - U_old)) < EPS:# 这里的类别和数据标签并不是一一对应的, 调整使得第i个中心表示第i类centroids = ajustCentroid(centroids, U, labels)return centroids, U# 预测所属的类别
def predict(X, centroids):labels = np.zeros(X.shape[0])U = computeU(X, centroids)  # 计算隶属度矩阵labels = np.argmax(U, axis=1)  # 找到隶属度矩阵中每行的最大值，即该样本最大可能所属类别return labelsdef main():datapath = "iris.data"dataX, labels = loadData(datapath)  # 读取数据# 划分训练集和测试集ratio = 0.6  # 训练集的比例trainLength = int(dataX.shape[0] * ratio)  # 训练集长度trainX = dataX[:trainLength, :]trainLabels = labels[:trainLength]testX = dataX[trainLength:, :]testLabels = labels[trainLength:]EPS = 1e-6   # 停止误差条件m = 2        # 模糊因子classes = 3  # 类别数# 得到各类别的中心centroids, U = cluster(trainX, trainLabels, m, classes, EPS)trainLabels_prediction = predict(trainX, centroids)testLabels_prediction = predict(testX, centroids)train_error = 1 - np.sum(np.abs(trainLabels_prediction - trainLabels)) / trainLengthtest_error = 1 - np.sum(np.abs(testLabels_prediction - testLabels)) / (dataX.shape[0] - trainLength)print("Clustering on traintset is %.2f%%" % (train_error*100))print("Clustering on testset is %.2f%%" % (test_error*100))if __name__ == "__main__":main()

参考资料

A Tutorial on Clustering Algorithms——Fuzzy C-Means Clustering
Fuzzy C-Means（模糊C均值聚类）算法原理详解与python实现