模糊C均值聚类（Fuzzy C-means）算法（FCM）

一、FCM算法简介

1、模糊集理论

L.A.Zadeh在1965年最早提出模糊集理论，在该理论中，针对传统的硬聚类算法其隶属度值非0即1的严格隶属关系，使用模糊集合理论，将原隶属度扩展为 0 到 1 之间的任意值，一个样本可以以不同的隶属度属于不同的簇集，从而极大提高了聚类算法对现实数据集的处理能力，由此模糊聚类出现在人们的视野。FCM算法广泛应用在数据挖掘、机器学习和计算机视觉与图像处理等方向。

2、FCM算法

模糊C均值聚类（Fuzzy C-means）算法简称FCM算法，是软聚类方法的一种。FCM算法最早由Dunn在1974年提出然后经 Bezdek推广。

硬聚类算法在分类时有一个硬性标准，根据该标准进行划分，分类结果非此即彼。
软聚类算法更看重隶属度，隶属度在[0,1]之间，每个对象都有属于每个类的隶属度，并且所有隶属度之和为 1，即更接近于哪一方，隶属度越高，其相似度越高。

3、算法思想

模糊 C-均值聚类（FCM）算法一种软聚类的聚类方法，该方法的思想使用
隶属度来表示每个数据之间的关系，从而确定每个数据点属于的聚类簇的聚类方法。同时 FCM 算法也是一种基于目标函数的算法，给定含有n个数据的数据集： X = { x 1 , x 2 , … x i , … , x n } X=\left\{\right.x_1,x_2,…x_i,…,x_n\left\}\right. X={x1,x2,…xi,…,xn}， X i X_i Xi是第 i i i个特征向量; X i j X_{ij} Xij是 X i Xi Xi的第 j j j个属性。每个样本包含 d d d个属性。FCM算法可以将该数据集划分为 K K K类， K K K为大于1的正整数，其中 K K K个类的聚类中心分别为 [ v 1 , v 2 , … , v n ] [v_1,v _2,…,v_n] [v1,v2,…,vn]。
FCM的目标函数和约束条件如下：

J ( U , V ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 k u i j m d i j 2 J(U,V)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \displaystyle\sum_{j=1}^{k} u_{ij}^md_{ij}^2 J(U,V)=i=1∑nj=1∑kuijmdij2

∑ j = 1 k u i j = 1 , u i j ∈ [ 0 , 1 ] \displaystyle\sum_{j=1}^{k} u_{ij}=1, u_{ij}∈[0,1] j=1∑kuij=1,uij∈[0,1]

其中， u i j u_{ij} uij是样本点 x i x_i xi与聚类中心 v j v_j vj的隶属度，m是模糊指数（m>1）， d i j d_{ij} dij是样本点 x i x_i xi与聚类中心 v j v_j vj的距离，一般采用欧氏距离。聚类即是求目标函数在约束条件的最小值。FCM 算法通过对目标函数的迭代优化来取得对样本集的模糊分类。

为使目标函数 J 取得最小值，在满足约束条件的情况下对目标函数使用拉格朗日（Lagrange）乘数法，得到隶属度矩阵U和聚类中心 v j v_j vj。

u i j = 1 ∑ c = 1 k ( d i j d i k ) 2 m − 1 u_{ij}=\frac{1}{\displaystyle\sum_{c=1}^{k} (\frac{d_{ij}}{d_{ik}}) ^\frac{2}{m-1}} uij=c=1∑k(dikdij)m−121

v j = ∑ i = 1 n u i j m x i ∑ i = 1 n u i j m v_j=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} u_{ij}^m x_i }{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} u_{ij}^m } vj=i=1∑nuijmi=1∑nuijmxi

4、算法步骤

算法的具体描述如下：

输入：聚类数K，初始聚类中心 X = { x 1 , x 2 , … x i , … , x n } X=\left\{\right.x_1,x_2,…x_i,…,x_n\left\}\right. X={x1,x2,…xi,…,xn}，模糊指标m，终止误差
输出：聚类中心 [ v 1 , v 2 , … , v k ] [v_1,v _2,…,v_k] [v1,v2,…,vk]，隶属度矩阵 u i j u_{ij} uij
Step1：初始化参数值k、m和迭代允许的误差ε；
Step2：初始化迭代次数l=0和隶属度矩阵U(0) ；
Step3：根据上一步的公式分别计算或更新隶属度矩阵和新的聚类中心。
Step4：比较 J l J^l Jl和 J ( l − 1 ) J^{(l-1)} J(l−1) ；若 ∣ ∣ J l − J ( l − 1 ) ∣ ∣ ≤ ε || J^{l} - J^{(l-1)} || ≤ ε ∣∣Jl−J(l−1)∣∣≤ε，则满足迭代停止条件，迭代停止。否则置 l = l + 1 l=l+1 l=l+1，返回Step3，继续迭代。

伪代码如下：

输入：数据集合X, 聚类的类别数k ,迭代次数阈值 T ，迭代次数 t ；
输出：聚类中心V, 隶属度矩阵U u = 进行初始化；init U;    //隶属度矩阵U初始化calculate v ；//根据公式计算聚类中心点calculate u ；//根据公式计算隶属度更新并组成隶属度矩阵Ucalculate J;  //计算目标函数 J ；t += 1; if t > Treturn Celse返回步骤 2；end if

FCM流程图如下：

二、代码实现（Python3）

本文使用的数据集为UCI数据集，分别使用鸢尾花数据集Iris、葡萄酒数据集Wine、小麦种子数据集seeds进行测试，本文从UCI官网上将这三个数据集下载下来，并放入和python文件同一个文件夹内即可。同时由于程序需要，将数据集的列的位置做出了略微改动。数据集具体信息如下表：

数据集	样本数	属性维度	类别个数
Iris	150	4	3
Wine	178	3	3
Seeds	210	7	3

数据集在我主页资源里有，免积分下载，如果无法下载，可以私信我。

1、Python3代码实现

from pylab import *
import pandas as pd
import numpy as np
import operator
import math
import matplotlib.pyplot as plt
import random
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.preprocessing import LabelEncoder
from sklearn.metrics import normalized_mutual_info_score  # NMI
from sklearn.metrics import rand_score  # RI
from sklearn.metrics import accuracy_score  # ACC
from sklearn.metrics import f1_score  # F-measure# 数据保存在.csv文件中
df_full = pd.read_csv("iris.csv", header=0)  # 鸢尾花数据集 Iris  class=3
# df_full = pd.read_csv("wine.csv")  # 葡萄酒数据集 Wine  class=3
# df_full = pd.read_csv("seeds.csv")  # 小麦种子数据集 seeds  class=3
# print(df_full)columns = list(df_full.columns)  # 获取数据集的第一行，第一行通常为特征名，所以先取出
features = columns[:len(columns) - 1]  # 数据集的特征名（去除了最后一列，因为最后一列存放的是标签，不是数据）
df = df_full[features]  # 预处理之后的数据，去除掉了第一行的数据（因为其为特征名，如果数据第一行不是特征名，可跳过这一步）class_labels = list(df_full[columns[-1]])  # 原始标签
if type(class_labels[0]) != int:class_labels = LabelEncoder().fit_transform(df_full[columns[len(columns)-1]])  # 如果标签为文本类型，把文本标签转换为数字标签print("此数据集标签为文本类型，已经转化为数字标签！")# 维度
num_attr = len(df.columns) - 1
# 分类数
k = 3
# 最大迭代数
MAX_ITER = 20
# 样本数
n = len(df)  # the number of row
# 模糊参数
m = 2.00# 初始化模糊矩阵U
def initializeMembershipMatrix():membership_mat = list()for i in range(n):random_num_list = [random.random() for i in range(k)]summation = sum(random_num_list)temp_list = [x / summation for x in random_num_list]  # 首先归一化membership_mat.append(temp_list)return membership_mat# 计算类中心点
def calculateClusterCenter(membership_mat):cluster_mem_val = zip(*membership_mat)cluster_centers = list()cluster_mem_val_list = list(cluster_mem_val)for j in range(k):x = cluster_mem_val_list[j]x_raised = [e ** m for e in x]denominator = sum(x_raised)temp_num = list()for i in range(n):data_point = list(df.iloc[i])prod = [x_raised[i] * val for val in data_point]temp_num.append(prod)numerator = map(sum, zip(*temp_num))center = [z / denominator for z in numerator]  # 每一维都要计算。cluster_centers.append(center)return cluster_centers# 更新隶属度
def updateMembershipValue(membership_mat, cluster_centers):#    p = float(2/(m-1))data = []for i in range(n):x = list(df.iloc[i])  # 取出文件中的每一行数据data.append(x)distances = [np.linalg.norm(list(map(operator.sub, x, cluster_centers[j]))) for j in range(k)]for j in range(k):den = sum([math.pow(float(distances[j] / distances[c]), 2) for c in range(k)])membership_mat[i][j] = float(1 / den)return membership_mat, data# 得到聚类结果
def getClusters(membership_mat):cluster_labels = list()for i in range(n):max_val, idx = max((val, idx) for (idx, val) in enumerate(membership_mat[i]))cluster_labels.append(idx)return cluster_labelsdef fuzzyCMeansClustering():# 主程序membership_mat = initializeMembershipMatrix()curr = 0start = time.time()  # 开始时间，计时while curr <= MAX_ITER:  # 最大迭代次数cluster_centers = calculateClusterCenter(membership_mat)membership_mat, data = updateMembershipValue(membership_mat, cluster_centers)cluster_labels = getClusters(membership_mat)curr += 1print("用时：{0}".format(time.time() - start))# print(membership_mat)return cluster_labels, cluster_centers, data, membership_matlabels, centers, data, membership = fuzzyCMeansClustering()def clustering_indicators(labels_true, labels_pred):f_measure = f1_score(labels_true, labels_pred, average='macro')  # F值accuracy = accuracy_score(labels_true, labels_pred)  # ACCnormalized_mutual_information = normalized_mutual_info_score(labels_true, labels_pred)  # NMIrand_index = rand_score(labels_true, labels_pred)  # RIreturn f_measure, accuracy, normalized_mutual_information, rand_indexF_measure, ACC, NMI, RI = clustering_indicators(class_labels, labels)
print("F_measure:", F_measure, "ACC:", ACC, "NMI", NMI, "RI", RI)
# print(labels)
# print(centers)
center_array = array(centers)
label = array(labels)
datas = array(data)
data_reduced = PCA(n_components=2).fit_transform(datas.data)  # 降维
# 做散点图
plt.scatter(data_reduced[:, 0], data_reduced[:, 1], marker='o', c='black', s=7)  # 原图
plt.show()plt.scatter(data_reduced[nonzero(label == 0), 0], data_reduced[nonzero(label == 0), 1], c='red', s=7)
plt.scatter(data_reduced[nonzero(label == 1), 0], data_reduced[nonzero(label == 1), 1], c='blue', s=7)
plt.scatter(data_reduced[nonzero(label == 2), 0], data_reduced[nonzero(label == 2), 1], c='green', s=7)
plt.show()

2、聚类结果分析

本文选择了F值（F-measure，FM）、准确率（Accuracy，ACC）、标准互信息（Normalized Mutual Information，NMI）和兰德指数（Rand Index，RI）作为评估指标，其值域为[0,1]，取值越大说明聚类结果越符合预期。

F值结合了精度（Precision）与召回率（Recall）两种指标，它的值为精度与召回率的调和平均，其计算公式见公式：

P r e c i s i o n = T P T P + F P Precision=\frac{TP}{TP+FP} Precision=TP+FPTP

R e c a l l = T P T P + F N Recall=\frac{TP}{TP+FN} Recall=TP+FNTP

F − m e a s u r e = 2 R e c a l l × P r e c i s i o n R e c a l l + P r e c i s i o n F-measure=\frac{2Recall \times Precision}{Recall+Precision} F−measure=Recall+Precision2Recall×Precision

ACC是被正确分类的样本数与数据集总样本数的比值，计算公式如下：

A C C = T P + T N T P + T N + F P + F N ACC=\frac{TP+TN}{TP+TN+FP+FN} ACC=TP+TN+FP+FNTP+TN

其中，TP（True Positive）表示将正类预测为正类数的样本个数，TN （True Negative）表示将负类预测为负类数的样本个数，FP（False Positive）表示将负类预测为正类数误报的样本个数，FN（False Negative）表示将正类预测为负类数的样本个数。

NMI用于量化聚类结果和已知类别标签的匹配程度，相比于ACC，NMI的值不会受到族类标签排列的影响。计算公式如下：

N M I = I ( U , V ) H ( U ) H ( V ) NMI=\frac{I\left(U,V\right)}{\sqrt{H\left(U\right)H\left(V\right)}} NMI=H(U)H(V) I(U,V)

其中H(U)代表正确分类的熵，H(V)分别代表通过算法得到的结果的熵。

其具体实现代吗如下：

def clustering_indicators(labels_true, labels_pred):f_measure = f1_score(labels_true, labels_pred, average='macro')  # F值accuracy = accuracy_score(labels_true, labels_pred)  # ACCnormalized_mutual_information = normalized_mutual_info_score(labels_true, labels_pred)  # NMIrand_index = rand_score(labels_true, labels_pred)  # RIreturn f_measure, accuracy, normalized_mutual_information, rand_indexF_measure, ACC, NMI, RI = clustering_indicators(labels_number, labels)
print("F_measure:", F_measure, "ACC:", ACC, "NMI", NMI, "RI", RI)

如果需要计算出聚类分析指标，只要将以上代码插入K-means实现代码中即可。

3、聚类结果

鸢尾花数据集Iris

Iris鸢尾花数据集原图

Iris鸢尾花数据集FCM聚类效果图

葡萄酒数据集Wine

Wine葡萄酒数据集原图

Wine葡萄酒数据集FCM聚类效果图

小麦种子数据集Seeds

Seeds小麦种子数据集原图

Seeds小麦种子数据集FCM聚类效果图

4、FCM算法的不足

FCM算法的核心步骤就是通过不断地迭代，更新聚类簇中心，达到簇内距离最小。算法的时间复杂度很低，因此该算法得到了广泛应用，但是该算法存在着许多不足，主要不足如下：

FCM聚类的簇数目需要用户指定。FCM算法首先需要用户指定簇的数目K值，K值的确定直接影响聚类的结果，通常情况下，K值需要用户依据自己的经验和对数据集的理解指定，因此指定的数值未必理想，聚类的结果也就无从保证。
FCM算法的初始中心点选取上采用的是随机的方法。FCM算法极为依赖初始中心点的选取：一旦错误地选取了初始中心点，对于后续的聚类过程影响极大，很可能得不到最理想的聚类结果，同时聚类迭代的次数也可能会增加。而随机选取的初始中心点具有很大的不确定性，也直接影响着聚类的效果。
FCM采用欧氏距离进行相似性度量，在非凸形数据集中难以达到良好的聚类效果。