2021 年百度之星·程序设计大赛

1001

题意：给出一个无向图，其中边有两种，附魔和没附魔的。初始在1号点，状态为没附魔，每次会等概率随机挑选一条边走，当经过附魔边时，状态会改变（附魔->没附魔，没附魔->附魔），问走k步后到达n号点且状态为附魔的概率。

比赛时，我错误的认为走出每条路径的概率都是相等的，一个反例如下：

路径1-2-5的概率为 $\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ ，而路径1-3-5的概率为 $\frac{1}{2}*\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$

首先讲一下官方题解做法：

最终答案为：走k步到n且状态为附魔的概率/任意走k步的概率

显然任意走k步的概率为1，所以只需求出分子。我们发现，如果没有状态，是很容易求出1到n的概率，所以我们可以将状态转化到点上：将每一个点拆成两个，附魔点和没附魔点，代表当前的状态。若一条边时附魔边，则将对应的一点的附魔点于另一点没附魔点相连，若是普通边，则将对应的附魔点和没附魔点相连。

这样转化后，我们发现只需求出1号没附魔点到n号附魔点的概率就行了。

复杂度 $O(n^3logk)$

接下来是我比赛时的做法：

还是求走k步到n且状态为附魔的概率，设数组 $c[i][j]$ 表示从i到j，且满足在j点是状态为附魔的概率， $a[i][j]$ 表示从i到j的概率，但对在j点的状态没有限制。

考虑矩阵乘法中的一次转移，枚举了从i到j的一个中间点k， $a[i][j]$ （转移后的）可以直接加上 $a[i][k]*a[k][j]$ ，那么考虑 $c$ ，有两种情况，从i到k时变成附魔，而从k到j状态不变，概率为 $c[i][k]*(a[k][j]-c[k][j])$ ，对应的，另一种情况的概率为 $(a[i][k]-c[i][k])*c[k][j]$ ，两种情况相加即可。

复杂度同样为 $O(n^3logk)$

1003

题意：有n台电脑，其中第k台电脑坏了，有m个交换方式依次进行，问对于1~n，使得最后坏的电脑交换到这个位置，最少放弃几次操作

我们可以定义一个状态 $f[i][j]$ 表示前i个操作，交换到j的最小代价（即最少放弃几次操作）

对于每个交换 $(a, b)$ ，与其无关的剩下n-2个电脑是否放弃此次操作并无关系，所以为使代价最小，此次不放弃，即 $f[i][j]=f[i-1][j](j\neq a, b)$

而对于a，如果执行此次交换操作，那么代价为 $f[i-1][b]$ ，而如果放弃，则代价为 $f[i-1][a]+1$ ，取两者较小值即可

利用滚动数组优化空间，复杂度为 $O(Tm)$

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