最小项

定义

这里我们首先摘出《数字电子技术基础》(阎石第五版)的定义

在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则m称为该组变量的最小项

也许你看这段文字时表示很懵逼，因此接下来我们给出具体的例子，相信聪明的你们很快就能明白其含义

首先给出 “n变量”，假定就是A、B、C吧，利用这n个变量（或其反变量）组成乘积项m, 例如ABC、A′BCABC、A'BCABC、A′BC等等，则m就是这n个变量的最小项

注意，这些变量在m中的位置是不可变的

按照数学推导，我们知道，对于n个变量，其最小项m应有2n2^n2n个

编号

下面，我们假定组成最小项m的每一位变量的原变量都表示1，而反变量表示0，并且按照位次排序，例如AB′C=101AB'C=101AB′C=101

下面，我们要做的是：认为转换得到的这组数为二进制数，从而可将其转换为十进制数，例如AB′C=(101)2=5AB'C=(101)_2=5AB′C=(101)2=5，我们记其为m5m_5m5，相应的，若十进制数为7，则记为m7m_7m7

重要性质

以下的性质均从最小项的定义出发

在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1
全体最小项之和为1
proof:将′和′理解为逻辑运算符′或′proof:将'和'理解为逻辑运算符'或'proof:将′和′理解为逻辑运算符′或′
任意两个最小项的乘积为0
proof:将′乘积′理解为逻辑运算符′与′proof:将'乘积'理解为逻辑运算符'与'proof:将′乘积′理解为逻辑运算符′与′
具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子
proof：利用逻辑运算性质A+A′=1即可证明proof：利用逻辑运算性质A+A'=1即可证明proof：利用逻辑运算性质A+A′=1即可证明

最大项

定义

Y=A+B′+C=(010)2=M2Y=A+B'+C=(010)_2=M_2Y=A+B′+C=(010)2=M2
Y=(A+B+C′)(A′+B+C)=(001)2(100)2=∏M(1,4)Y=(A+B+C')(A'+B+C)=(001)_2(100)_2=\prod M(1,4)Y=(A+B+C′)(A′+B+C)=(001)2(100)2=∏M(1,4)

可见，在最大项中：原变量视为0，反变量视为1

最小项与最大项之关系

若给定Y=ABC+A′BC=∑m(3,7)Y=ABC+A'BC=\sum m(3,7)Y=ABC+A′BC=∑m(3,7)
则Y′=∑m(1,2,4,5,6)=∏M(1,2,4,5,6)Y'=\sum m(1,2,4,5,6)=\prod M(1,2,4,5,6)Y′=∑m(1,2,4,5,6)=∏M(1,2,4,5,6)

由此可知，若已知逻辑函数的最小项之和，则其最大项之积，反函数的最小项之和、最大项之积均可知

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最小项与最大项

最小项

定义

编号

重要性质

最大项

定义

最小项与最大项之关系

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