Gibbs Sampling\吉布斯采样（二）

3 Markov Chain Monte Carlo

对于给定的概率分布p(x),我们希望能有便捷的方式生成它对应的样本。由于马氏链能收敛到平稳分布，于是一个很的漂亮想法是：如果我们能构造一个转移矩阵为P的马氏链，使得该马氏链的平稳分布恰好是p(x),那么我们从任何一个初始状态x0出发沿着马氏链转移,得到一个转移序列 x0,x1,x2,⋯xn,xn+1⋯,，如果马氏链在第n步已经收敛了，于是我们就得到了 π(x) 的样本xn,xn+1⋯。

这个绝妙的想法在1953年被Metropolis想到了，为了研究粒子系统的平稳性质， Metropolis考虑了物理学中常见的波尔兹曼分布的采样问题，首次提出了基于马氏链的蒙特卡罗方法，即Metropolis算法，并在最早的计算机上编程实现。Metropolis算法是首个普适的采样方法，并启发了一系列 MCMC方法，所以人们把它视为随机模拟技术腾飞的起点。Metropolis的这篇论文被收录在《统计学中的重大突破》中，Metropolis算法也被遴选为二十世纪的十个最重要的算法之一。

我们接下来介绍的MCMC算法是 Metropolis 算法的一个改进变种，即常用的 Metropolis-Hastings算法。由上一节的例子和定理我们看到了，马氏链的收敛性质主要由转移矩阵P 决定,所以基于马氏链做采样的关键问题是如何构造转移矩阵P,使得平稳分布恰好是我们要的分布p(x)。如何能做到这一点呢？我们主要使用如下的定理。

定理：[细致平稳条件] 如果非周期马氏链的转移矩阵P和分布π(x) 满足

4 GibbsSampling

（接三）

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