凸优化第四章凸优化问题 4.3线性规划问题
4.3线性规划问题
- 例子
- 线性分式规划
线性规划
目标函数和约束函数都是仿射函数,问题则称为线性规划。一般的线性规划形式:
其中,显然线性规划问题是凸优化问题。
因为不等式约束函数和等式约束函数都是仿射函数,所以可行集是一个多面体。
所以也就是相等于在多面体中找一个使得最小,即找一个最大的。
例子
食谱问题
表示n种食物的量,一份健康的饮食包含m种不同的营养,每种至少要,单位第j种食物有营养i的量为,价格为,这一问题用线性规划描述为:
多面体的Chebyshev中心
在多面体中寻找最大球问题。多面体的线性不等式表示:
球表示为:
约束:B在P中:
又因为:
结合(1)式,知:
于是得到线性规划问题:
分片线性极小化
通过上境图形式转化为等价的线性规划问题:
线性分式规划
其中,
可行集:
令
得到原问题等价的线性规划:
首先如果x是原问题的可行解,那么y和z都是等价线性规划的可行解,且目标值相同。
反过来,当y,z是可行解时,(1)z不为0时,是原问题可行解。(2)z=0时,假设是原问题可行解,则是原问题可行解。且t趋于无穷大的时候。目标值相同。
广义线性分式规划
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