引理1

设集合 S={λi:λi≥0,i∈N+}S = \{ \lambda_i : \lambda_i \ge 0, i \in \mathbb N ^+ \}
记 Λ(k,n)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜λ1⋱λk⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟n×n,k,n∈N+,k≤n\Lambda (k, n) = \begin{pmatrix} \lambda_{1} & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & \lambda_{k} & & \\ & & & & \\ & & & & \end{pmatrix} _{n \times n}, k, n \in \mathbb N ^+, k \le n
则对于任意的 k∈N+,k \in \mathbb N ^+, 对于任意的 n∈N+,n≥k,n \in \mathbb N ^+, n \ge k, 对于任意一矩阵 An×n,n∈N+,A _{n \times n}, n \in \mathbb N ^+, 若 AA 的任意一个主子式 ≥0,\ge 0, 则 |A+Λ(k,n)|≥0\left \vert A + \Lambda (k, n) \right \vert \ge 0

证明

k=1k = 1 时，对于任意的 n∈N+,n \in \mathbb N ^+, 对于任意一矩阵 An×n,n∈N+,A _{n \times n}, n \in \mathbb N ^+, 若 AA 的任意一个主子式 ≥0,\ge 0, 则
∣∣∣∣∣∣∣a1,1+λ1a2,1⋮an,1a1,2a2,2⋮an,2⋯⋯⋱⋯a1,na2,n⋮an,n∣∣∣∣∣∣∣\begin{vmatrix} a_{1,1} + \lambda_{1} & a_{1, 2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2, 2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n, 2} & \cdots & a_{n,n} \end{vmatrix}
=∣∣∣∣∣∣∣a1,1a2,1⋮an,1a1,2a2,2⋮an,2⋯⋯⋱⋯a1,na2,n⋮an,n∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣λ1a2,1⋮an,10a2,2⋮an,2⋯⋯⋱⋯0a2,n⋮an,n∣∣∣∣∣∣∣= \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1, 2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2, 2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n, 2} & \cdots & a_{n,n} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{2,1} & a_{2, 2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n, 2} & \cdots & a_{n,n} \end{vmatrix}
=|A|+λ1∣∣∣∣∣a2,2⋮an,2⋯⋱⋯a2,n⋮an,n∣∣∣∣∣≥0 = \vert A \vert + \lambda_{1} \begin{vmatrix} a_{2, 2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n, 2} & \cdots & a_{n,n} \end{vmatrix} \ge 0
假设 kk 时命题成立。则 k+1k + 1 时，对于任意的 n∈N+,n≥k+1,n \in \mathbb N ^+, n \ge k + 1, 对于任意一矩阵 An×n,n∈N+,A _{n \times n}, n \in \mathbb N ^+, 若 AA 的任意一个主子式 ≥0,\ge 0, 则
|A+Λ(k+1,n)|\left \vert A + \Lambda (k + 1, n) \right \vert
=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1,1+λ1⋮ak,1ak+1,1ak+2,1⋮an,1⋯⋱⋯⋯⋯⋯a1,k⋮ak,k+λkak+1,kak+2,k⋮an,ka1,k+1⋮ak,k+1ak+1,k+1+λk+1ak+2,k+1⋮an,k+1a1,k+2⋮ak,k+2ak+1,k+2ak+2,k+2⋮an,k+2⋯⋯⋯⋯⋱⋯a1,n⋮ak,nak+1,nak+2,n⋮an,n∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= \begin{vmatrix} a_{1,1} + \lambda_{1} & \cdots & a_{1,k} & a_{1,k + 1} & a_{1,k + 2} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k,1} & \cdots & a_{k,k} + \lambda_{k} & a_{k,k + 1} & a_{k,k + 2} & \cdots & a_{k,n} \\ a_{k + 1,1} & \cdots & a_{k + 1,k} & a_{k + 1,k + 1} + \lambda_{k + 1} & a_{k + 1,k + 2} & \cdots & a_{k + 1,n} \\ a_{k + 2,1} & \cdots & a_{k + 2,k} & a_{k + 2,k + 1} & a_{k + 2,k + 2} & \cdots & a_{k + 2,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,k} & a_{n,k + 1} & a_{n,k + 2} & \cdots & a_{n,n} \end{vmatrix}
=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1,1+λ1⋮ak,1ak+1,1ak+2,1⋮an,1⋯⋱⋯⋯⋯⋯a1,k⋮ak,k+λkak+1,kak+2,k⋮an,ka1,k+1⋮ak,k+1ak+1,k+1ak+2,k+1⋮an,k+1a1,k+2⋮ak,k+2ak+1,k+2ak+2,k+2⋮an,k+2⋯⋯⋯⋯⋱⋯a1,n⋮ak,nak+1,nak+2,n⋮an,n∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = \begin{vmatrix} a_{1,1} + \lambda_{1} & \cdots & a_{1,k} & a_{1,k + 1} & a_{1,k + 2} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k,1} & \cdots & a_{k,k} + \lambda_{k} & a_{k,k + 1} & a_{k,k + 2} & \cdots & a_{k,n} \\ a_{k + 1,1} & \cdots & a_{k + 1,k} & a_{k + 1,k + 1} & a_{k + 1,k + 2} & \cdots & a_{k + 1,n} \\ a_{k + 2,1} & \cdots & a_{k + 2,k} & a_{k + 2,k + 1} & a_{k + 2,k + 2} & \cdots & a_{k + 2,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,k} & a_{n,k + 1} & a_{n,k + 2} & \cdots & a_{n,n} \end{vmatrix}
+∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1,1+λ1⋮ak,10ak+2,1⋮an,1⋯⋱⋯⋯⋯⋯a1,k⋮ak,k+λk0ak+2,k⋮an,ka1,k+1⋮ak,k+1λk+1ak+2,k+1⋮an,k+1a1,k+2⋮ak,k+20ak+2,k+2⋮an,k+2⋯⋯⋯⋯⋱⋯a1,n⋮ak,n0ak+2,n⋮an,n∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ + \begin{vmatrix} a_{1,1} + \lambda_{1} & \cdots & a_{1,k} & a_{1,k + 1} & a_{1,k + 2} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k,1} & \cdots & a_{k,k} + \lambda_{k} & a_{k,k + 1} & a_{k,k + 2} & \cdots & a_{k,n} \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{k + 1} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{k + 2,1} & \cdots & a_{k + 2,k} & a_{k + 2,k + 1} & a_{k + 2,k + 2} & \cdots & a_{k + 2,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,k} & a_{n,k + 1} & a_{n,k + 2} & \cdots & a_{n,n} \end{vmatrix}
=|A+Λ(k,n)|+λk+1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1,1+λ1⋮ak,1ak+2,1⋮an,1⋯⋱⋯⋯⋯a1,k⋮ak,k+λkak+2,k⋮an,ka1,k+2⋮ak,k+2ak+2,k+2⋮an,k+2⋯⋯⋯⋱⋯a1,n⋮ak,nak+2,n⋮an,n∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = \left \vert A + \Lambda (k, n) \right \vert + \lambda_{k + 1} \begin{vmatrix} a_{1,1} + \lambda_{1} & \cdots & a_{1,k} & a_{1,k + 2} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k,1} & \cdots & a_{k,k} + \lambda_{k} & a_{k,k + 2} & \cdots & a_{k,n} \\ a_{k + 2,1} & \cdots & a_{k + 2,k} & a_{k + 2,k + 2} & \cdots & a_{k + 2,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,k} & a_{n,k + 2} & \cdots & a_{n,n} \end{vmatrix}
=|A+Λ(k,n)|+λk+1|B+Λ(k,n−1)| = \left \vert A + \Lambda (k, n) \right \vert + \lambda_{k + 1} \left \vert B + \Lambda (k, n - 1) \right \vert

其中 B=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜a1,1⋮ak,1ak+2,1⋮an,1⋯⋱⋯⋯⋯a1,k⋮ak,kak+2,k⋮an,ka1,k+2⋮ak,k+2ak+2,k+2⋮an,k+2⋯⋯⋯⋱⋯a1,n⋮ak,nak+2,n⋮an,n⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟B = \begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,k} & a_{1,k + 2} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k,1} & \cdots & a_{k,k} & a_{k,k + 2} & \cdots & a_{k,n} \\ a_{k + 2,1} & \cdots & a_{k + 2,k} & a_{k + 2,k + 2} & \cdots & a_{k + 2,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,k} & a_{n,k + 2} & \cdots & a_{n,n} \end{pmatrix}
|B|\vert B \vert 是 AA 的一个主子式。因此 BB 的任意一个主子式也是 AA 的主子式。则 BB 的任意一个主子式 ≥0\ge 0 。于是 |B+Λ(k,n−1)|≥0, \left \vert B + \Lambda (k, n - 1) \right \vert \ge 0, 因此 |A+Λ(k+1,n)|≥0\left \vert A + \Lambda (k + 1, n) \right \vert \ge 0 。

引理2

若 λi>0,i∈N+\lambda_i \gt 0, i \in \mathbb N ^+
则对于任意的 n∈N+, n \in \mathbb N ^+, 对于任意一矩阵 An×n,A _{n \times n}, 若 AA 的任意一个主子式 ≥0,\ge 0, 则 |A+Λ(n,n)|>0\left \vert A + \Lambda (n, n) \right \vert \gt 0

证明

n=1n = 1 时，对于任意一矩阵 A1×1=(a11),A _{1 \times 1} = \begin{pmatrix} a_{11} \end{pmatrix}, 若 AA 的任意一个主子式 ≥0,\ge 0, 则 a11=|A|≥0,a_{11} = \left \vert A \right \vert \ge 0, 因此 |A+Λ(1,1)|=|(a11+λ1)|=a11+λ1>0\left \vert A + \Lambda (1, 1) \right \vert = \left \vert \begin{pmatrix} a_{11} + \lambda _{1} \end{pmatrix} \right \vert = a_{11} + \lambda _{1} \gt 0
假设 nn 时命题成立。则 n+1n + 1 时，对于任意一矩阵 An+1×n+1,A _{n + 1 \times n + 1}, 若 AA 的任意一个主子式 ≥0,\ge 0, 则
|A+Λ(n+1,n+1)|\left \vert A + \Lambda (n + 1, n + 1) \right \vert
=∣∣∣∣∣∣∣a1,1+λ1⋮an,1an+1,1⋯⋱⋯⋯a1,n⋮an,n+λnan+1,n+1a1,n+1⋮an,n+1an+1,n+1+λn+1∣∣∣∣∣∣∣= \begin{vmatrix} a_{1,1} + \lambda_{1} & \cdots & a_{1,n} & a_{1,n + 1} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n, 1} & \cdots & a_{n, n} + \lambda_{n} & a_{n,n + 1} \\ a_{n + 1,1} & \cdots & a_{n + 1,n + 1} & a_{n + 1,n + 1} + \lambda_{n + 1} \end{vmatrix}
=∣∣∣∣∣∣∣a1,1+λ1⋮an,1an+1,1⋯⋱⋯⋯a1,n⋮an,n+λnan+1,n+1a1,n+1⋮an,n+1an+1,n+1∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣a1,1+λ1⋮an,10⋯⋱⋯⋯a1,n⋮an,n+λn0a1,n+1⋮an,n+1λn+1∣∣∣∣∣∣∣= \begin{vmatrix} a_{1,1} + \lambda_{1} & \cdots & a_{1,n} & a_{1,n + 1} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n, 1} & \cdots & a_{n, n} + \lambda_{n} & a_{n,n + 1} \\ a_{n + 1,1} & \cdots & a_{n + 1,n + 1} & a_{n + 1,n + 1} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{1,1} + \lambda_{1} & \cdots & a_{1,n} & a_{1,n + 1} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n, 1} & \cdots & a_{n, n} + \lambda_{n} & a_{n,n + 1} \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{n + 1} \end{vmatrix}
=|A+Λ(n,n+1)|+λn+1|B+Λ(n,n)|= \left \vert A + \Lambda (n, n + 1) \right \vert + \lambda_{n + 1} \left \vert B + \Lambda (n, n) \right \vert
其中 B=⎛⎝⎜⎜a1,1⋮an,1⋯⋱⋯a1,n⋮an,n⎞⎠⎟⎟B = \begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,n} \end{pmatrix}
|B|\vert B \vert 是 AA 的一个主子式。因此 BB 的任意一个主子式也是 AA 的主子式。则 BB 的任意一个主子式 ≥0\ge 0 。于是 |B+Λ(n,n)|>0, \left \vert B + \Lambda (n, n) \right \vert \gt 0,
由引理1，|A+Λ(n,n+1)|≥0,\left \vert A + \Lambda (n, n + 1) \right \vert \ge 0, 因此 |A+Λ(n+1,n+1)|>0\left \vert A + \Lambda (n + 1, n + 1) \right \vert \gt 0 。

命题

主子式大于等于零的实对称矩阵是半正定矩阵。

证明

对于任意的 n∈N+, n \in \mathbb N ^+, 对于任意一实对称矩阵 An×n,A _{n \times n}, 若 AA 的任意一个主子式 ≥0,\ge 0, 则
记 Λ=⎛⎝⎜⎜λ1⋱λn⎞⎠⎟⎟n×n,\Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_{1} & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_{n} \end{pmatrix} _{n \times n},
对于 A+ΛA + \Lambda 的任意一个主子式 Bk×k,B_{k \times k}, 设 A+ΛA + \Lambda 中与 Bk×kB_{k \times k} 对应的行号为 n1,⋯,nk,n_1, \cdots, n_k,
令 Ak×k=⎛⎝⎜⎜an1,n1⋮ank,n1⋯⋱⋯an1,nk⋮ank,nk⎞⎠⎟⎟k×k,Λk×k=⎛⎝⎜⎜λn1⋱λnk⎞⎠⎟⎟k×k,A_{k \times k} = \begin{pmatrix} a_{n_1, n_1} & \cdots & a_{n_1,n_k}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n_k, n_1} & \cdots & a_{n_k, n_k} \end{pmatrix} _{k \times k}, \Lambda_{k \times k} = \begin{pmatrix} \lambda_{n_1} & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_{n_k} \end{pmatrix} _{k \times k},
则 Bk×k=Ak×k+Λk×k,B_{k \times k} = A_{k \times k} +\Lambda_{k \times k},
Ak×kA_{k \times k} 是 AA 的一个主子式，因此 Ak×kA_{k \times k} 的任意一个主子式也是 AA 的主子式。则 Ak×kA_{k \times k} 的任意一个主子式 ≥0\ge 0 。
由引理2，当 λi>0,i∈N+\lambda_i \gt 0, i \in \mathbb N ^+ 时， |Bk×k|>0\vert B_{k \times k} \vert \gt 0 。
因此当 λi>0,i∈N+\lambda_i \gt 0, i \in \mathbb N ^+ 时， A+Λ A + \Lambda 的任意一个主子式都大于零。
又 A+ΛA + \Lambda 是实对称矩阵，因此 A+Λ A + \Lambda 正定。
∀X∈Rn,X≠0⃗ ,\forall X \in \mathbb R ^n, X \neq \vec 0, 令 f(λ1,⋯,λn)=X⊺(A+Λ)X,λi∈R,i∈N+f(\lambda_1, \cdots, \lambda_n) = X ^ {\intercal } ( A + \Lambda ) X, \lambda_i \in \mathbb R, i \in \mathbb N ^+
则 f(λ1,⋯,λn)=X⊺(A+Λ)X>0f(\lambda_1, \cdots, \lambda_n) = X ^ {\intercal } ( A + \Lambda ) X \gt 0
即 X⊺(A+Λ)X=X⊺AX+X⊺ΛX=X⊺AX+∑i=1nλix2i>0X ^ {\intercal } ( A + \Lambda ) X = X ^ {\intercal } AX + X ^ {\intercal } \Lambda X = X ^ {\intercal } AX + \sum \limits_{i = 1} ^{n} \lambda_i x_i ^2 \gt 0
又 f(λ1,⋯,λn)f(\lambda_1, \cdots, \lambda_n) 在 Rn \mathbb R ^n 连续，
因此 X⊺AX=f(0,⋯,0)=lim(λ1,⋯,λn)→(0,⋯,0)f(λ1,⋯,λn)≥0X ^ {\intercal } AX = f(0, \cdots, 0) = \lim \limits_{(\lambda_1, \cdots, \lambda_n) \to (0, \cdots, 0)} f(\lambda_1, \cdots, \lambda_n) \ge 0

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/*** @param str* @function 判断输入的数据是否是大于等于零的整数*/public static boolean isNumeric(String str) {for (int ...

主子式大于等于零的矩阵是半正定矩阵的证明方法之一

引理1

证明

引理2

证明

命题

证明

主子式大于等于零的矩阵是半正定矩阵的证明方法之一相关推荐

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