动态规划DP----背包问题总结

1. 01背包问题

01背包的算法思想

01背包的代码框架

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 1010;int n, m;  // n表示所有物品的个数  m表示背包的容量
int v[N], w[N];  // v表示第i件物品的体积  w表示第i件物品的价值
int f[N][N];  // 所有状态int main(){cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];// f[0][0~m] = 0for(int i = 1; i <= n; i++){  // 枚举所有的物品for(int j = 0; j <= m; j++){  // 枚举所有的体积f[i][j] = f[i-1][j];if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-v[i]] + w[i]);  // 注意此处的判断}}cout << f[n][m] << endl;return 0;
}

优化方法—优化成一维数组来表述集合

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 1010;int n, m;  // n表示所有物品的个数  m表示背包的容量
int v[N], w[N];  // v表示第i件物品的体积  w表示第i件物品的价值
int f[N];  // 所有状态int main(){cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];for(int i = 1; i <= n; i++){  // 枚举所有的物品for(int j = m; j >= v[i]; j--){  // 枚举所有的体积f[j] = max(f[j], f[j-v[i]] + w[i]);  // 注意此处的判断}}cout << f[m] << endl;return 0;
}

2. 完全背包问题

完全背包的算法思想

完全背包的代码框架—朴素方法

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 1010;int n, m;  // n表示所有物品的个数  m表示背包的容量
int v[N], w[N];  // v表示第i件物品的体积  w表示第i件物品的价值
int f[N][N];  // 所有状态int main(){cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 0; j <= m; j++){for(int k = 0; k * v[i] <= j; k++){f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j - v[i] * k] + k * w[i]);}}}cout << f[n][m] << endl;return 0;
}

优化方法

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 1010;int n, m;  // n表示所有物品的个数  m表示背包的容量
int v[N], w[N];  // v表示第i件物品的体积  w表示第i件物品的价值
int f[N][N];  // 所有状态int main(){cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 0; j <= m; j++){f[i][j] = f[i-1][j];if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j-v[i]] + w[i]);}}cout << f[n][m] << endl;return 0;
}

3.多重背包问题

多重背包的算法思想

多重背包的算法框架—朴素方法

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 110;int n, m;  // n表示所有物品的个数  m表示背包的容量
int v[N], w[N], s[N];  // v表示第i件物品的体积  w表示第i件物品的价值,s[i]表示每件物品最多有s[i]个
int f[N][N];  // 所有状态int main(){cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];for(int i = 1; i <= n; i++)   // 枚举所有物品for(int j = 0; j <= m; j++)  // 枚举所有体积for(int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k++) // k：表示每件物品的个数最多有s[i]个f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);cout << f[n][m] << endl;return 0;
}

优化方法–二进制优化方法

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 25000, M = 2010;int n, m;  // n表示所有物品的个数  m表示背包的容量
int v[N], w[N], s[N];  // v表示第i件物品的体积  w表示第i件物品的价值,s[i]表示每件物品最多有s[i]个
int f[N];  // 所有状态int main(){cin >> n >> m;int cnt = 0;for(int i = 1; i <= n; i++){int a, b, s; // 体积 价值 个数cin >> a >> b >> s;int k = 1;  // 多重背包的二进制优化方法while(k <= s){cnt++;v[cnt] = a * k;w[cnt] = b * k;s -= k;k *= 2;}// s[i]中的剩余部分if(s > 0){cnt++;v[cnt] = a * s;w[cnt] = b * s;}}// 优化版本的01背包问题n = cnt;for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = m; j >= v[i]; j--){f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);}}cout << f[m] << endl;return 0;
}

4.分组背包问题

分组背包的算法思想

分组背包的算法框架—优化方法

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 110;int n, m;  // n表示所有物品的个数  m表示背包的容量
int v[N][N], w[N][N], s[N];  // v表示第i件物品的体积  w表示第i件物品的价值, S[i]:每组中物品的个数
int f[N];  // 从两维优化成一维int main(){cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i++){cin >> s[i];for(int j = 0; j < s[i]; j++) cin >> v[i][j] >> w[i][j];}for(int i = 1; i <= n; i++)  // 枚举每一组for(int j = m; j >= 0; j--)  // 改成一维表示状态时，从大到小来枚举所有体积！for(int k = 0; k < s[i]; k++)  // 枚举每组中每一个物品if(v[i][k] <= j) f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);  // v[i][k]:第i组中的第k个物品cout << f[m] << endl;return 0;
}

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