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先说说什么叫稀疏矩阵。

你说，

这个问题很简单吗，

那你一定不知道中国学术界的嘴皮子仗，

对一个字眼的“抠”将会导致两种相反的结论。这是清华

2000

年的一道考研题：“表示一个有

1000

个顶点，

1000

条边的有向图的邻接矩阵有多少个矩阵元素？是否稀疏矩阵？”

如果你是个

喜欢研究出题者心理活动的人，

你可以看出这里有两个陷阱，

就是让明明会的人答错，

我不想说

出是什么，留给读者思考。姑且不论清华给的标准答案是什么，

那年的参考书是严蔚敏的《数据

结构(

C

语言版)》，书上对于稀疏矩阵的定义是这样的：“非零元较零元少(注：原书下文给

出了大致的程度)

，

且分布没有一定规律”

，

照这个说法，

那题的答案应该是不一定是稀疏矩阵，

因为可能是特殊矩阵

(非零元分布有规律)

。

自从

2002

年换参考书后，

很多概念都发生了变化，

最明显的是从多少开始计数(

0

还是

1

)，从而导致的是空树的高度变成了－

1

，只有一个根节

点的树高度是

0

。很不幸的是树高的问题几乎年年都考，在你下笔的时候，总是犯点嘀咕，总不

是一朝天子一朝臣吧，

会不会答案是个兼容版本？然后，

新参考书带的习题集里引用了那道考研

题，答案是是稀疏矩阵。你也许会惊讶这年头咸鱼都会游泳了，

但这个答案和书并不矛盾，

因为

在这本黄皮书里，根本就没有什么特殊矩阵，

自然就一定是稀疏矩阵了。

其实，

这两本书在这个

问题上也没什么原则上的问题，

C

版的是从数据结构实现区分出特殊矩阵和稀疏矩阵，

毕竟他们

实现起来很不相同；

新书一股脑把非零元少的矩阵都当成稀疏矩阵，

当你按照这种思路做的时候

就会发现，

各种结构特殊的非零元很少的矩阵，

如果用十字链表来储存的话，

比考虑到它的特殊

结构得出的特有储存方法，

仅仅是浪费了几个表头节点和一些指针域，

再有就是一些运算效率的

降低。从我个人角度讲，我更喜欢多一些统一，少一些特别，即使牺牲一点效率；所以在这一点

上我赞同新参考书的做法。而在计数起点上，我更喜欢原来的做法；毕竟，研究数据结构要考虑

人的思考习惯，

而不是计算机喜欢什么；

你非得说表中的第一个元素是第

0

个，

空树的高是－

1

，

怎么不让人心里起疙瘩。

数据结构是人们构造算法时思维和计算机实现的桥梁、

中介，

它应该符

合人的思考习惯，

即使在它实现的时候内部做了某些转换。

开始废话了这么多，

希望没打消了你

往下看的心情，好，言归正传。

这里的十字链表是这样构成的：

用链表模拟矩阵的行

(或者列，

这可以根据个人喜好来定)

，

然后，

再构造代表列的链表，

将每一行中的元素节点插入到对应的列中去。

书中为了少存几个表

头节点，将行和列的表头节点合并到了一起——实际只是省了几个指针域，如果行和列数不等，

多余的数据域就把这点省出的空间又给用了。

这点小动作让我着实废了半天劲，

个人感觉，

优点

不大，

缺点不少，

不如老老实实写得象个十字链表，

让人也好看一些，

这是教科书，

目的是教学。

实在看得晕的人，参阅

C

版的这部分内容，很清晰。我也不会画图，打个比方吧：这个十字链

表的逻辑结构就像是一个围棋盘(没见过，你就想一下苍蝇拍，这个总见过吧)

，而非零元就好

像是在棋盘上放的棋子，

总共占的空间就是，

确定那些线的表头节点和那些棋子代表的非零元节

点。最后，我们用一个指针指向这个棋盘，这个指针就代表了这个稀疏矩阵。

现在，让我们看看非零元节点最少需要哪几个域，

data

必须的，

down

、

right

把线画下去，

好像不需要别的了。再看看表头节点，由于是链表的表头节点，

所以就和后边的节点一样了。

然

后，

行链表和列链表的表头节点实际上也各构成了一个链表，

我们给他们添加一个公有的表头节

点。

最后，

通过指向这个行列链表表头构成的链表的公有的表头节点的指针，

我们就可以访问稀

疏矩阵了。

好像和书上的不一样——非零元节点没了指示位置的

I

、

j

，实际上，对于确定非零元在矩阵

中的位置，

I

、

j

不是必须的，看着围棋盘你就会很清楚。但是很不幸，不是把他们存起来就万事

大吉了，最起码，必须考虑加法和乘法的效率，请你想想如果用上面的那种结构，如何完成。考