数值计算方法 第一章 数值计算中的误差 笔记
数值计算中的误差
（1）误差的基本概念
误差的基本概念
实际问题的精确解与数值计算所得的近似解之间的差别称为误差
误差来源
（1）模型误差
实际问题与数学模型之差
（2）观测误差
观测所的
（3)截断误差
近似导致
（4）舍入误差
机器字长限制
（2）绝对误差与相对误差与有效数字
绝对误差
e(x*)=x-x*
绝对误差限
|e(x*)|=x-x*
x*-ε⩽\varepsilon\leqslantε⩽x⩽\leqslant⩽x*+ε\varepsilonε
x=x*±ε\plusmn\varepsilon±ε
用毫米刻度尺的米尺测量一长度为x，如读出的长度为x*=765mm，qi绝对误差限为0.5mm
准确值x： 764.5mm⩽\leqslant⩽x$\leqslant765.5mmx765.5mm\\ x765.5mmx∈\isin∈[764.5mm,765.5mm]
x=765$\plusmn$0.5mm
相对误差
因为准确值x总是未知，所以一般取相对误差为：
er(x∗)=e(x∗)x∗e_r(x^*)=\frac{e(x^*)}{x^*}er(x∗)=x∗e(x∗)
相对误差限(限->取模)
|er(x∗)e_r(x^*)er(x∗)|=|e(x∗)x∗\frac{e(x^*)}{x^*}x∗e(x∗)|⩽\leqslant⩽εr\varepsilon_rεr
两种误差限的关系
εr\varepsilon_rεr=ε∣x∗∣\frac{\varepsilon}{|x^*|}∣x∗∣ε
ε\varepsilonε=|x^*|ε\varepsilonε
2≈1.414\sqrt2\approx1.4142≈1.414 (1.41421356237310)
是经过四舍五入得到的近似值，则
绝对误差限ε\varepsilonε=12∗10−3\frac{1}{2}*10^{-3}21∗10−3
相对误差限εr=0.5∗10−31.414≈0.035\varepsilon_r=\frac{0.5*10^{-3}}{1.414}\approx0.035εr=1.4140.5∗10−3≈0.035%
有效数字
2=1.41421356\sqrt2=1.414213562=1.41421356
(∣x−x∗∣⩽12∗10−3)(|x-x^*|\leqslant\frac{1}{2}*10^{-3})(∣x−x∗∣⩽21∗10−3) x∗=1.414x^*=1.414x∗=1.414—有效数字4个
(∣x−x∗∣⩽12∗10−7)(|x-x*|\leqslant\frac{1}{2}*10^{-7})(∣x−x∗∣⩽21∗10−7) x∗=1.4142136x^*=1.4142136x∗=1.4142136—有效数字8个
x=0.005800±\plusmn±12∗10−6\frac{1}{2}*10^{-6}21∗10−6表示近似值
x∗=0.005800x^*=0.005800x∗=0.005800准确到小数点后6位，有4位有效数字
2\sqrt22=1.41421356237310……
x∗=1.414213x^*=1.414213x∗=1.414213作为2\sqrt22d的近似值，有几位有效数字？∣e(x∗)∣=∣x−x∗∣=0.0000005623…|e(x^*)|=|x-x^*|=0.0000005623…∣e(x∗)∣=∣x−x∗∣=0.0000005623…<12∗10−5\frac{1}{2}*10^{-5}21∗10−5
准确到小数点后5为，有6位有效数字
为使2\sqrt22的近似值的相对误差线小于0.1%，至少要取几位有效数字？
（用绝对误差限和有效数字的关系）
ε=εr∗∣x∣<20∗10−3=0.4…∗10−2\varepsilon=\varepsilon_r*|x|<\sqrt{20}*10^{-3}=0.4…*10^{-2}ε=εr∗∣x∣<20∗10−3=0.4…∗10−2
0.5∗10−3<0.4…∗10−20.5*10^{-3}<0.4…*10^{-2}0.5∗10−3<0.4…∗10−2
需要准确到小数点后第3位，有4位有效数字
x表示成规范模式*
定理一：若x的近似值x*=±0.a1a2an∗10m(a1/=0)\plusmn0.a_1a_2a_n*10^m(a_1\mathrlap{\,/}{=}0)±0.a1a2an∗10m(a1/=0)有n位有效数字，则12a1\frac{1}{2a_1}2a11为其相对误差限。
反之，若x∗x^*x∗的相对误差限εr\varepsilon_rεr满足εr⩽12(a1+1)∗10−n+1\varepsilon_r\leqslant\frac{1}{2(a_1+1)}*10^{-n+1}εr⩽2(a1+1)1∗10−n+1，则x至少有n位有效数字
实际上，使用的时候，通过绝对误差限中转
（3）数值计算中误差的传播
基本运算中的误差传播
用微分表示误差
Δy≈dy=f′(x)dx\Delta{y}\approx{dy}=f\prime(x)dxΔy≈dy=f′(x)dx
绝对误差的传播
y=f(x),则e(y∗)=f(x)−f(x∗)≈df(x∗)=f′(x∗)e(x∗)y=f(x),则e(y^*)=f(x)-f(x^*)\approx{df(x^*)}=f\prime(x^*)e(x^*)y=f(x),则e(y∗)=f(x)−f(x∗)≈df(x∗)=f′(x∗)e(x∗)
ε(y∗)⩽∣f′(x∗)∣ε(x∗)\varepsilon(y^*)\leqslant|f\prime(x^*)|\varepsilon(x^*)ε(y∗)⩽∣f′(x∗)∣ε(x∗)
y=f(x1,x2，…,xn),fy=f(x_1,x_2，…,x_n),fy=f(x1,x2，…,xn),f在点（x1∗,x2∗,…,xn∗）（x_1^*,x_2^*,…,x_n^*）（x1∗,x2∗,…,xn∗）处可微，xi∗x_i^*xi∗为xix_ixi的近似值，则
相对误差的传播
（4）和差积商的误差公式
即和，差的绝对误差限不超过各数的绝对误差限之和
积，商的相对误差限不超过各数的相对误差限之和
（5）算法的数值稳定性
稳定性：在算法的计算过程中，舍入误差在计算过程中不增长，则称算法是数值稳定的，否则称算法是数值不稳定的
（6）数值计算中应注意的问题
- 避免两个相近的数相减
避免大数吃小数的现象
改变顺序，先对小的部分操作，就有可能最后不会被吃掉避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值
当|y|<<|x|时，舍入误差可能增大很多要简化计算，减少运算次数，提高效率
秦九韶算法选用数值稳定性好的算法
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