引言

　机器学习栏目记录我在学习Machine Learning过程的一些心得笔记，涵盖线性回归、逻辑回归、Softmax回归、神经网络和SVM等等。主要学习资料来自Standford Andrew Ng老师在Coursera的教程以及UFLDL Tutorial，Stanford CS231n等在线课程和Tutorial，同一时候也參考了大量网上的相关资料（在后面列出）。
　

前言

　本文主要介绍逻辑回归的基础知识。文章小节安排例如以下：
　1）逻辑回归定义
　2）如果函数（Hypothesis function）
　3）决策边界（Decision Boundary）
　4）代价函数（Cost Function）
　5）优化方法
　

逻辑回归定义

　简单来说，
　逻辑回归（Logistic Regression）是一种用于解决二分类（0 or 1）问题的机器学习方法。用于预计某种事物的可能性。比方某用户购买某商品的可能性。某病人患有某种疾病的可能性，以及某广告被用户点击的可能性等。
　注意。这里用的是“可能性”。而非数学上的“概率”，logisitc回归的结果并不是数学定义中的概率值，不能够直接当做概率值来用。该结果往往用于和其它特征值加权求和，而非直接相乘。

　那么逻辑回归与线性回归是什么关系呢？
　逻辑回归（Logistic Regression）与线性回归（Linear Regression）都是一种广义线性模型（generalized linear model）。

逻辑回归如果因变量 y 服从伯努利分布。而线性回归如果因变量 y 服从 高斯分布。

　因此与线性回归有非常多同样之处，去除Sigmoid映射函数的话。算法就是一个线性回归。能够说。逻辑回归是以线性回归为理论支持的，可是逻辑回归通过Sigmoid函数引入了非线性因素。因此能够轻松处理0/1分类问题。

　
　机器学习中的不论什么算法都有着数学基础，有着不同的前提如果和对应的约束。因此如果想要深入的掌握机器学习算法。必须要捡起数学课本，包含统计、概率、微积分等。
　
　

如果函数（Hypothesis function）

　逻辑回归的如果函数形式例如以下：
　
　这个函数称为Sigmoid函数，也称为逻辑函数（Logistic function）。其函数曲线例如以下：
　
　
　从上图能够看到sigmoid函数是一个s形的曲线。它的取值在[0, 1]之间，在远离0的地方函数的值会非常快接近0/1。这个性质使我们能够以概率的方式来解释。
　一个机器学习的模型。实际上是把决策函数限定在某一组条件下，这组限定条件就决定了模型的如果空间。当然。我们还希望这组限定条件简单而合理。

而逻辑回归模型所做的如果是：
　
　
　这里的 g(h) 是上边提到的 sigmoid 函数。对应的决策函数为：
　
　
　选择0.5作为阈值是一个一般的做法。实际应用时特定的情况能够选择不同阈值。如果对正例的判别准确性要求高，能够选择阈值大一些。对正例的召回要求高，则能够选择阈值小一些。

决策边界（Decision Boundary）

　决策边界，也称为决策面。是用于在N维空间。将不同类别样本分开的平面或曲面。
　首先看Andrew Ng老师课程上的两张图：
　线性决策边界：
　
　决策边界：
　
　
　非线性决策边界：
　
　决策边界：
　
　
　上面两张图非常清晰的解释了什么是决策边界，决策边界事实上就是一个方程，在逻辑回归中。决策边界由theta’X=0定义。
　要注意理解如果函数和决策边界函数的差别与联系。决策边界是如果函数的属性，由如果函数的參数决定。
　在逻辑回归中，如果函数（h=g(z)）用于计算样本属于某类别的可能性；决策函数（h=1(g(z)>0.5)）用于计算（给出）样本的类别。决策边界（θ^Tx=0）是一个方程。用于标识出分类函数（模型）的分类边界。
　
　

代价函数（Cost Function）

　线性回归中的代价函数：
　

　线性回归中的代价函数看上去非常好理解。但却不能用于逻辑回归。原因例如以下：
　如果我们使用这个代价值形式，J(θ)会变成參数θ的非凸函数，由于在逻辑回归中，H(θ)是一个Sigmoid函数，其曲线例如以下：
　
　
　该函数是一个非凸函数，有非常多局部最优值。

如果你把梯度下降法用在一个这种函数上，不能保证它会收敛到全局最小值。
　对应地我们希望我们的代价函数J(θ)是一个凸函数，是一个单弓形函数，例如以下：
　
　
　如果对它使用梯度下降法。我们能够保证梯度下降法会收敛到该函数的全局最小值。

　由于H(θ)是一个sigmoid函数，导致J(θ)成为一个非凸函数，因此。我们须要另外找到一个不同的代价函数，它是凸函数，使得我们能够使用非常好的算法，如梯度下降法，并且能保证找到全局最小值。

　
　因此，我们採用例如以下的形式计算样本的代价值：
　

　逻辑回归中的代价函数：
　

　
补充资料：极值 和 最优化问题
　所谓极值。简单地说，是指一群同类量中的最大量(或最小量)．对于极值问题的研究，历来被视为一个引人入胜的课题．波利亚说过：“虽然每一个人都有他自己的 问题，我们能够注意到。这些问题大多是些极大或极小问题．我们总希望以尽可能低的代价来达到某个目标。或者以一定的努力来获得尽可能大的效果，或者在一定 的时间内做最大的功，当然，我们还希望冒最小的风险。

我相信数学上关于极大和极小的问题，之所以引起我们的兴趣，是由于它能使我们日常生活中的问题理想 化．”波利亚，《数学与猜想》，第一卷。第133页我们将看到。很多实际问题和数学问题。都可归结为形形色色的极值问题，才干得到统一地解决．
　
　

优化方法

　在逻辑回归中，依旧使用梯度下降法对代价函数进行优化。完整形式例如以下：
　
　
　注意：
　逻辑回归和线性回归问题中。梯度下降算法的形式看上去是一致的（更新參数的规则看起来基本同样），但实际上两者是全然不同的。由于如果函数是不同的，须要特别注意这一点。
　
　其向量化实现（vectorized implementation）例如以下：