从Swap函数谈加法溢出问题
1. 初始题目
面试题:不用额外的变量,实现一个Swap函数,交换两个参数的值(问题1)。
这个题目太经典,也太简单,有很多人都会不假思索结出答案:
//Code 1
void Swap(int* a, int* b)
{*a = *a + *b;*b = *a - *b;*a = *a - *b;
}
但真正的难点来了,接下来,就会有面试的第二问:指出code1算法的问题,并修正(问题2)。
2. 错误思路
一些毁人不倦的书,把其中的问题归结到了溢出(overflow)。修改方法是用异或替代加减,即:
//Code 2
void Swap(int* a, int* b)
{*a = *a ^ *b;*b = *a ^ *b;*a = *a ^ *b;
}
诚然,在很多场合,大数的加法都会带来溢出的问题。但Code1 中的Swap函数真会构成溢出问题么?(问题3)
2.1 错误的想法
大家都能清楚的描述加法溢出的产生原因:运算结果超出了变量的表示范围。
发生溢出时,结果会是多少呢?有很多人是知道的,但可能表述得不太清晰:舍弃超出变量内存范围的高位(加法只会舍弃最高位),保留在范围内的低位。
用这个概念,去分析问题3,恐怕是很难得到明确的答案的。很多人简单看看,认为执行两个很大的数的加法后,运算结果丢了最高位,所以会构成问题。
和问题3的知识点相同的,有另外一个问题:
判断两个int型变量相加,是否会溢出?不会溢出返回0,否则返回非0整数。下面的方法是否可行?(问题4)
//Code 3
int IsOverFlow(int x, int y)
{int sum = x + y;return (sum - x == y) && (sum - y == x);
}
对问题3,回答“会构成问题”的同学。回答问题4时,应该会认为“方法可行”。理由是,认为溢出后,信息丢失,以后的运算都不再能得到正确结果。
2.2 加法的溢出
事实上,问题3的答案是:不会溢出;问题4的答案是:方法不可行。
用一下数学符号表述,可以清晰的得到正确答案。
假设一个整型变量有w位,那么,整型变量的表示范围是: -2w-1 ~ 2w-1-1。 当求和结果超出这个范围时,就发生溢出。即正数的绝对值大于2w-1-1时,发生正溢出,负数绝对值大于2w-1时,发生负溢出
加法的溢出,只会发生在两个求和参数同正负符号的时候。
第w-1位 (符号位) |
第w-2位 |
第w-3位 |
………… |
第2位 |
第1位 |
第0位 |
一正一负时,肯定不会发生溢出,因为这时:|x +y| < max{|x|, |y|}
对于两个很大的正数相加,发生正溢出时,第w-1位肯定为1,假设除去最高位时,剩下w-1位(第0至w-2位)的内存可以表示为数:r。即 x + y = r + 2w-1。
由于是有符号数,第w-1位是符号位,由于符号位是1,说明结果是负数,采用补码,即运算结果为:sum =- (2w-1 – r) = r-2w-1。即于sum = r + 2w-1-2w=x + y - 2w
同时,两个绝对值很大的负数相加,发生负溢出后的结果是: s = x + y + 2w
当两个正数产生加法溢出时,运算结果s = x + y – 2w。 此时, s < 0。
再做减法:s – x = x + y - 2w - x = y + 2w 由于|y| <2w-1,有 |y - 2w| >2w-1 ,发生负溢出,在结果上又加上了 2w。即,x + y - 2w – x + 2w ,这个结果等于y。
因此问题3的答案是“不构成问题”,问题4的答案是:不可行。
判断两个int型变量相加,是否会溢出?不会溢出返回0,否则返回非0整数。这个函数需要怎么设计?(问题5)
发生正溢出后,结果将是负数;发生负溢出后,结果将是正数。
因此可以这样做:
//Code 4
int IsOverFlow(int x, int y)
{int sum = x + y;int posOver = (x > 0) && (y > 0) && (x + y < 0);int negOver = (x < 0) && (y < 0) && (x + y > 0);return posOver || negOver;
}
3. 解决问题
回顾一个经典的算法,快排:
//Code 5
void QSort(int a[], int start, int end)
{if (start >= end)return;int lastLessIdx = start;for (int traveler = start + 1; traveler <= end; ++traveler){if (a[traveler] < a[start]){ Swap(&a[++lastLessIdx], &a[traveler]);} }Swap(&a[lastLessIdx], &a[start]);QSort(a, start, lastLessIdx - 1);QSort(a, lastLessIdx + 1, end);
}
其中用到了Swap函数。但是,直接用code1中给出的Swap函数行吗?
不行。Code1中的Swap函数,没有考虑自己与自己换的情况。当需要自己与自己交换时(快排中lastLessIdx + 1 == traveler 时),Code1直接把值变成了0。
因此,修正方法很简单,判断是不是自己在和自己交换即可:
//Code 6
void Swap(int* a, int* b)
{if (a == b)return;*a = *a + *b;*b = *a - *b;*a = *a - *b;
}
转载于:https://www.cnblogs.com/dyllove98/p/3230989.html
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