子矩阵（暴搜（全排列）+DP）

一、题目

子矩阵

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题目描述

给出如下定义：

1. 子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。

例如，下面左图中选取第2、4行和第2、4、5列交叉位置的元素得到一个2*3的子矩阵如右图所示。

9 3 3 3 9

9 4 8 7 4

1 7 4 6 6

6 8 5 6 9

7 4 5 6 1

的其中一个2*3的子矩阵是

4 7 4

8 6 9

2. 相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。

3. 矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。

本题任务：给定一个n行m列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个r行c列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。

输入

第一行包含用空格隔开的四个整数n，m，r，c，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的n行，每行包含m个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个n行m列的矩阵。

输出

输出共1行，包含1个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。

样例输入

输入样例#1：

5 5 2 3

9 3 3 3 9

9 4 8 7 4

1 7 4 6 6

6 8 5 6 9

7 4 5 6 1

输入样例#2：

7 7 3 3

7 7 7 6 2 10 5

5 8 8 2 1 6 2

2 9 5 5 6 1 7

7 9 3 6 1 7 8

1 9 1 4 7 8 8

10 5 9 1 1 8 10

1 3 1 5 4 8 6

样例输出

输出样例#1：

输出样例#2：

【输入输出样例1说明】

该矩阵中分值最小的2行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行与第1列、第3列、第4列交叉位置的元素组成，为

6 5 6

7 5 6

，其分值为

|6−5| + |5−6| + |7−5| + |5−6| + |6−7| + |5−5| + |6−6| =6。

【输入输出样例2说明】

该矩阵中分值最小的3行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行、第6行与第2列、第6列、第7列交叉位置的元素组成，选取的分值最小的子矩阵为

9 7 8 9 8 8 5 8 10

提示

对于50%的数据，1 ≤ n ≤ 12，1 ≤ m ≤ 12，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 20；

对于100%的数据，1 ≤ n ≤ 16，1 ≤ m ≤ 16，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 1,000，

1 ≤ r ≤ n，1 ≤ c ≤ m。

二、分析及代码

子矩阵：

方法一：暴力搜索

最大时间复杂度为O(C(16,8)*C(16,8));

只有一半分

方法二：直接想DP，不好想

方法三：暴力搜索+DP

最大时间复杂度为O(C(16,8)*n³);

我们先用暴力选好行，再用dp对列进行操作。

状态：

dp[i][j]表示前i列里选j列的子矩阵最大分值

最终状态：

状态为什么不是dp[m][c]

min(dp[i][c]) 因为下面那么写状态转移方程默认最后选的那一列就是第i列

初始状态：

dp[i][0]=0，dp[0][i]=0,dp[i][i]=行的分值+列的分值

状态转移方程：

dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-1]+val[i]+cost[k][i]); （j-1<=k<i）

dp[i][j]表示前i列里选j列的子矩阵最大分值

a[i]表示第i列选到的行的总差值

b[k][i]表示选到的每一行第k列和第i列之间的差值

k表示除i之外最后一列的编号

dp[5][3]= min(dp[5][3],dp[k][j-1]+val[i]+cost[k][i]);

j-1<=k<i

DP过程：

i…1->n

j…1->i

k…j-1->i-1

dp[5][3]= min(dp[5][3],dp[k][2]+val[i]+cost[k][i]);

2<=k<=4

k==2: dp[5][3]= min(dp[5][3],dp[2][2]+val[i]+cost[k][i]);

k==3: dp[3][2] +val[i]+cost[k][i]

k==4: dp[4][2] +val[i]+cost[k][i]

 1 #include<cmath>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<iostream>
 4 #include<algorithm>
 5 #define MAXN 20
 6
 7 using namespace std;
 8
 9 int a[MAXN][MAXN],n,m,r,c,ans;
10
11 int R[MAXN],cost[MAXN][MAXN],dp[MAXN][MAXN],val[MAXN];
12
13 inline void read(int &x) {
14     int f=1;x=0;char c=getchar();
15     while(c>'9'||c<'0') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
16     while(c>='0'&&c<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+c-48;c=getchar();}
17     x=x*f;
18 }
19
20 void printArr_dp(){
21     for(int i=1;i<=n;i++){
22         for(int j=1;j<=m;j++){
23             printf("%4d ",dp[i][j]);
24         }
25         cout<<endl;;
26     }
27 }
28
29 inline int DP() {
30     int ret=1e9;
31     for(int i=1;i<=m;i++) {  //在第i列之间的数的差值之和
32         val[i]=0;
33         for(int j=1;j<r;j++)
34         val[i]+=abs(a[R[j]][i]-a[R[j+1]][i]);
35     }
36
37     for(int i=1;i<=m;i++)   //处理在第i列与第j列之间 数的差值之和
38         for(int j=i+1;j<=m;j++) {
39             cost[i][j]=0;
40             for(int k=1;k<=r;k++)
41                 cost[i][j]+=abs(a[R[k]][i]-a[R[k]][j]);
42        }
43
44     for(int i=1;i<=m;i++) //前i列之中 第i列强制选择
45         for(int j=1;j<=i&&j<=c;j++) { //已经选了j列
46         dp[i][j]=1e9;
47         for(int k=j-1;k<i;k++) //    从j-1列开始 在第j-1列到第i列之中选第j列 再加上第i列的花费
48             dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-1]+cost[k][i]+val[i]);    //在前k列中选取了j-1列 再选取第j列
49     }
50
51     for(int i=c;i<=m;i++) //在前i列中选了c列
52         ret=min(ret,dp[i][c]);
53
54 //    printArr_dp();
55 //    cout<<endl;
56     return ret;
57
58  }
59 //now为当前遍历的行的编号，cnt为找到的行的数目，找到的行的编号放在 R[]数组中
60 inline void slect(int now,int cnt) {// 任意选取r行
61     if(now>n) {//n行都搜索完了
62         if(cnt==r) ans=min(ans,DP());//这r行找好了，我们就DP
63         return;
64     }
65     slect(now+1,cnt);//不选这一行
66     R[cnt+1]=now;//记录选的这行
67     slect(now+1,cnt+1);//选这一行
68     return;
69 }
70
71 int main() {
72     freopen("submatrix.txt","r",stdin);
73     read(n);read(m);read(r);read(c);
74     for(int i=1;i<=n;i++)
75     for(int j=1;j<=m;j++)
76         read(a[i][j]);
77     ans=1e9;
78     slect(1,0);
79     printf("%d\n",ans);
80     return 0;
81 }

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