4 种经典方法IB 数学证明题分享给大家
学习数学时感觉最有意思的题目就是证明题了,证明题能练习一种能力:
你知道一件事情时对的,怎么说清楚它是对的;你认为一件事情时错的,怎么说清楚它是错的。
这和生活中的辩论有点像,要有理有据地说清楚原因。不过生活中的辩论站在任何一方的角度上都可以有不同的辩法,数学有意思的地方就在于它的一致性:一个问题用不同的方法得出的都是相同的结论。
数学证明在 SATⅡ 和 AMC 中都以选择题的形式出现,考的不深,但在 IB AA 中考的就比较深了,毕竟本来 AA 的核心就是 math analysis,本文详细来说说数学证明有哪些思路。
一、直接证明的方法
Direct proof
当你妈问你:“昨天吃饭没有?”你说:“吃了。”
你妈接着问:“怎么证明你昨天吃饭了?”这时候,一道证明题就出现了!
你此时如果回答:“正常人每天都是要吃饭的,我是一个正常人,所以我昨天吃饭了”。这就是直接证明的方法。
咱们回味一下刚才的“证明过程”,你先说了一个大前提“正常人每天都是要吃饭的”,这是人们公认的对的,在数学中,这个大前提可以是公理 axiom、定理 theorem、公式 formula、运算法则 rule、性质 property 等。
而第二句话“我是一个正常人”,说明了在本道题中,题目所给条件能符合这个大前提(比如可以适用这个定理、能套这个公式),于是能得出结论。
以上就是最经典的证明方法,初中数学也常常训练这种方法。
二、反证法
Proof by contradiction
故事又回到你妈的那个问题:“怎么证明你昨天吃饭了?”
此时如果你回答:“如果我昨天没吃饭,今天都要饿趴下了”。这就是反证法。
咱们回味一下刚才的“证明过程”,你并没有先说什么定理,而是上来就说“如果我昨天没吃饭”,这里的“如果”引导的是一个自己补充的条件,就相当于你做这道题的时候多了一个条件!这很重要。
多了一个条件你就可以用这个条件自由发挥,但要注意的是:这个条件推出的任何可行的结果都不能作为结论(因为这个条件是你假设的,不是真正成立的),但是,这个条件如果推出任何矛盾的结果,就能说明这个这个条件的补充是错误的。
这个条件不成立,就说明条件的反面成立。这就是反证法,在“直接证明”不好用的时候,咱们会考虑反证法。
我印象中最早用到的反证法的题是“证明质数有无限多个”、“证明根号二是无理数”。IB 中考题如下,大家看看自己会证吗?
三、数学归纳法证明
Proof by induction
故事又又回到你妈的那个问题:“怎么证明你昨天吃饭了?”
此时如果你回答:“我前一天吃完饭,第二天就很饿了,第二天也得吃饭”。这就是数学归纳法。
咱们回味一下刚才的“证明过程”,你用到的是一个“递推”的思路,并没有直接说昨天的事儿,而是说了相邻两天的关系,也就是说明了“前一天吃饭了,后一天就必须要吃饭”,就能推出每一天都吃饭了。
那为什么“前一天吃饭了”又是如何证明的呢?答:是“靠大前天吃饭了”证明的。那么“大前提吃饭了”又是如何证明的呢?总有一个头吧?这个头就是 n=1 的情况。
在数学归纳法的证明中,n=1 成立虽然简单,但要明确写出。
四、三角函数证明及其他技巧
故事又又又回到你妈的那个问题:“怎么证明你昨天吃饭了?”
如果你说“吃饭能提供每天的蛋白质、糖、能量、维生素,现在咱们去医院测一下我身上的这些指标,就能证明我昨天吃饭了“。
这就需要一些特殊工具检测了,虽然思路上算是“直接法证明”的一种(找了一种判定),但如何快速准确的测出这些指标,还是得需要一些专门的工具。
数学题中,有些证明题也需要特殊的“数学工具”,比如三角函数证明题,很多同学不会,因为三角函数公式太多了,想用好就很难。
除此之外,还有综合条件的分析思维、不等式缩放的技巧、判定的选择都是证明题的难点。篇幅有限,不好一一讲到了,以后咱们会在之后 IB 课程中详细讲解。
大家可以练练我以上说到的四种题型。
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