贝塞尔曲线(Bezier Curves)

贝塞尔曲线

空间贝塞尔曲线(Spatial B′ ezier Curves)

当贝塞尔曲线的控制点为三维坐标时，即可得到空间贝塞尔曲线。

空间空间贝塞尔曲线任然满足性质：

端点插值性质：
端点切线定理：
凸包性质
仿射变换不变性
变差缩减性质

微分

1、n 阶贝塞尔曲线的控制函数 Bi,n(t)B_{i,n}(t) 的一阶和二阶微分满足：

B′i,n(t)=(i−nt)t(1−t)Bi,n(t)

B'_{i,n}(t) = \frac {(i-nt)}{t(1-t)}B_{i,n}(t)

B′′i,n(t)=(i(i−1)−2i(n−1)t+n(n−1)t2t2(1−t)2)Bi,n(t)

B''_{i,n}(t) = ( \frac {i(i-1)-2i(n-1)t + n(n-1)t^2} {t^2(1-t)^2} )B_{i,n}(t)

B′i,n(t)=n(Bi−1,n−1(t)−Bi,n−1(t))

B'_{i,n}(t) = n(B_{i-1,n-1}(t) - B{i,n-1}(t) )

2、n 阶贝塞尔曲线的的一阶微分是：

B′(t)=∑i=0n−1b(1)iBi,n−1(t)

B'(t) = \sum _{i=0} ^{n-1} b_i^{(1)} B_{i,n-1}(t)

其中：b(1)i=n(bi+1−bi)b_i^{(1)} = n(b_{i+1} -b_i )

3、n 阶贝塞尔曲线的的rr阶微分是：

B(r)(t)=∑i=0n−rb(r)iBi,n−r(t)

B^{(r)}(t) = \sum _{i=0} ^{n-r} b_i^{(r)} B_{i,n-r}(t)

其中：b(r)i=(n−r+1)∑rj=1(−1)r−jrjbi+jb_i^{(r)} = (n-r+1) \sum _{j=1}^r (-1)^{r-j} \begin{matrix} r \\j \end{matrix} b_{i+j}

表达式之间的转换

任意多项式曲线都可以表示成贝塞尔曲线的形式

多项式表达：

a0+a1t+⋯+antn

a_0 + a_1 t + \cdots + a_n t^n

贝塞尔曲线的形式：

∑i=0nbin!(n−i)!i!(1−t)n−iti=p0+p1t+⋯+pntn

\sum ^n _{i=0} b_i \frac {n!}{(n-i)!i!} (1-t)^{n-i} t^i = p_0 + p_1 t + \cdots + p_n t^n

两式相等，即可解出多项式对应的贝塞尔曲线的控制点的坐标。

分段贝塞尔曲线

任意间隔贝塞尔曲线

控制点为 bo,⋯,bnb_o,\cdots,b_n 的任意时间间隔 [tmin,tmax][t_{min},t_{max}] 的贝塞尔曲线定义为：

B(t)=∑i=0nbiBi,n(t−tmintmax−tmin)

B(t) = \sum _{i=0} ^n b_i B_{i,n} (\frac {t-t_{min}}{t_{max}-t_{min}})

其中：
Bi,n B_{i,n} 为n阶贝塞尔曲线的基本控制函数
B(t)=∑ni=0biBi,nt∈[0,1] B(t) = \sum _{i=0} ^n b_i B_{i,n} t \in [0,1] 称为贝塞尔曲线的标准形式

分段贝塞尔曲线

令 I=[a,b] I = [a,b] P(t) P(t) 为分段贝塞尔曲线

⟺

\Longleftrightarrow
如果存在 t0<t1<⋯<tr−1<tr t_0 满足 a=t0,b=tr a=t_0, \quad b=t_r ;任意间隔贝塞尔曲线 Bj(t)t∈[tj,tj+1](j=0,1,⋯,r−1) B_j(t) t \in [t_j,t_{j+1}] \quad ( j=0,1,\cdots,r-1 ) 满足

(1) P(t)=Bj(t),t∈(tj,tj+1) P(t) = B_j(t), t \in (t_j,t_{j+1}) ,

(2) P(tj)=Bj−1(tj)或/和P(tj)=Bj(tj)(j=0,1,⋯,r−1) P(t_ j) = B_{j-1}(t_j) 或/和 P(t_j) = B_{j}(t_j) \quad ( j=0,1,\cdots,r-1 ) ,

(3) P(t0)=B0(t0)且P(tr)=Br−1(tr) P(t_0) = B_0(t_0) 且 P(t_r) = B_{r-1}(t_r) 。

tj t_j 称为断点。若 Bj(t)B_j(t)的最高阶数为n，则称分段贝塞尔曲线的阶数为n。

若分段贝塞尔曲线的两段在连接处的k阶导数连续，称其为几何连续。

有理贝塞尔曲线（Rational B´ezier Curves）

控制点为 bo,⋯,bnb_o,\cdots,b_n 的n阶有理贝塞尔曲线定义为：

B(t)=∑ni=0ωibiBi,n(t)∑ni=0ωiBi,n(t),t∈[0.1]

B(t) = \frac { \sum ^n_{i=0} \omega_i b_i B_{i,n}(t)} { \sum ^n_{i=0} \omega_i B_{i,n}(t)}, \quad t\in [0.1]

ωi\omega_i 不全为零，若 ωi=0\omega_i =0 ，可直接约去，