GCD or LCM ---- 处理gcd和lcm同时出现的情况 1499D

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题目大意：

给你c,d,xc,d,xc,d,x求有多少对a,ba,ba,b，满足下面的式子？
c×lcm(a,b)−d×gcd(a,b)=xc \times lcm(a,b)-d\times gcd(a,b)=xc×lcm(a,b)−d×gcd(a,b)=x

解题思路：

这题目确实很妙啊！！
因为lcm(a,b)=a×bgcd(a,b)lcm(a,b)=\frac{a\times b}{gcd(a,b)}lcm(a,b)=gcd(a,b)a×b如果直接代入得话会有gcd(a,b)2gcd(a,b)^2gcd(a,b)2那么我们看如何把这个处理掉

a=A×gcd(a,b)a=A\times gcd(a,b)a=A×gcd(a,b)
b=B×gcd(a,b)b=B\times gcd(a,b)b=B×gcd(a,b)
A⊥BA\perp BA⊥B

那么上面得lcm(a,b)=A×B×gcd(a,b)lcm(a,b)=A \times B \times gcd(a,b)lcm(a,b)=A×B×gcd(a,b)
那么替换上面式子
c×A×B×gcd(a,b)−d×gcd(a,b)=xc\times A \times B \times gcd(a,b) - d \times gcd(a,b)=xc×A×B×gcd(a,b)−d×gcd(a,b)=x
gcd(a,b)×(c×A×B−d)=xgcd(a,b)\times (c\times A\times B-d)=xgcd(a,b)×(c×A×B−d)=x
A×B=xgcd(a,b)+dcA\times B = \frac{\frac{x}{gcd(a,b)}+d}{c}A×B=cgcd(a,b)x+d

对于上面得式子我们知道gcd(a,b)∣x&&xgcd(a,b)+d∣cgcd(a,b)|x\&\&\frac{x}{gcd(a,b)}+d|cgcd(a,b)∣x&&gcd(a,b)x+d∣c
对于x,c,dx,c,dx,c,d我们是知道的那么我们枚举gcd(a,b)gcd(a,b)gcd(a,b)就可以了
因为
A⊥BA\perp BA⊥B
那么对于式子右边的值里面的每一种质因PPP只能在AAA或者是BBB
那么就是∑2右边式子的值的质因子种类个数\sum 2^{右边式子的值的质因子种类个数}∑2右边式子的值的质因子种类个数

为了加速求解：我们要预处理出每个数包含的质因子种类数

我这里用的是欧拉筛欧拉筛欧拉筛
根据欧拉筛的性质，每个数都是被自己最小的那个只有质数筛掉：
设num[i]num[i]num[i]是第iii个数的质数种类个数

#include <bits/stdc++.h>
#define mid ((l + r) >> 1)
#define Lson rt << 1, l , mid
#define Rson rt << 1|1, mid + 1, r
#define ms(a,al) memset(a,al,sizeof(a))
#define log2(a) log(a)/log(2)
#define lowbit(x) ((-x) & x)
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LLF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define f first
#define s second
#define endl '\n'
using namespace std;
const int N = 2e6 + 10, mod = 1e9 + 9;
const int maxn = 20000010;
const long double eps = 1e-5;
const int EPS = 500 * 500;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<ll,ll> PLL;
typedef pair<double,double> PDD;
template<typename T> void read(T &x)
{x = 0;char ch = getchar();ll f = 1;while(!isdigit(ch)){if(ch == '-')f*=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x = x*10+ch-48;ch=getchar();}x*=f;
}
template<typename T, typename... Args> void read(T &first, Args& ... args)
{read(first);read(args...);
}
int c, d, x;
int pri[maxn], cnt, num[maxn];
bool vis[maxn];
inline void init() {for(int i = 2; i < maxn; ++ i) {if(!vis[i]) pri[cnt ++] = i, num[i] = 1;for(int j = 0; j < cnt && i * pri[j] < maxn; ++ j) {vis[i * pri[j]] = 1;num[i * pri[j]] = num[i] + num[pri[j]] * (i % pri[j] != 0);if(i % pri[j] == 0) break; }}
}
int main() { IOS;init();int T;cin >> T;while(T --) {cin >> c >> d >> x;int ans = 0;for(int i = 1; i * i <= x; ++ i) {//枚举x约数if(x % i != 0) continue;int up = x / i + d;if(up % c == 0) ans += 1ll << num[up/c];if(i * i == x) break;int down = i + d;if(down % c == 0) ans += 1ll << num[down/c]; }           cout << ans << "\n";}
}

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