灵光一现的trick
感觉平时会丢掉好多挺好的trick……
图论
1.图G,固定S,T。可以将任意一条边加上权值$k(k>0)$,求最大化加权后最短路。
2.图G,固定S,T。可以将任意一条边乘以权值$k(k>0)$,求最大化加权后最短路。
3.有一个DAG森林,问至少加多少条边使得整张图强连通?
ans:我的想法是这样考虑:
先在基图中考虑每一个连通块,并且暂时不管原图中它们的连通性。记基图中连通块个数为$k$,那么为保证它们连通,需要$k$条边。连边之后就变成了一个大的DAG,问题变为DAG中至少加多少条边强连通,那么这个模型是好做的。(子问题一)
至于怎么加边,则由于每个基图的连通块只有一条出边一条入边,就类似贪心地分别取出入度为零的点。(子问题二)
正确性可以由子问题一二的正确性保证。
ans':YA老爷发现这个模型好像是可以推广到DAG森林的。想了想确实有点道理。非形式化的证明:对于每一对出入度为零的点,因为最终所有点是强连通的,那么在它们之间连一条边会减少两个未确定的点。记出入度为零的点分别为$cnt_1,cnt_2$,因此答案是$max\{cnt_1,cnt_2\}$。
4.有$n$个点,每个点点权为$d_i \in N^*$,边(u,v)权为$max\{d_u,d_v\}$,满足$\sum d_i=s$。问这张图的完全图权值和最小是多少。
5.有$n$个点,每个点点权为$d_i \in N^*$,边(u,v)权为$max\{d_u,d_v\}$,满足$\sum d_i=s$。问在这张图选出m条边,权值和最小是多少。
树论
1.一颗$n$点有根树(或者无根树),给定$m$个叶子节点,要求设计一种方案将树染为黑白无三色,使得每个叶子节点到根的路径上恰好有$a_i$个白点,$b_i$个黑点。
ans:假设有解,那么根首先是可以确定下来的。那么依次顺推下去,将需求颜色相差1的连起来。如果没法连就意味着无解。时间复杂度$O(n^2)$
2.一颗$n$点有根树(或者无根树),给定$m$个叶子节点,要求设计一种方案将树染为黑白无三色,使得每个叶子节点到根的路径上至少有$a_i$个白点,$b_i$个黑点。
ans:好像连成一条链就行了吧?……若有无法连续的也意味着没有中间过渡的节点,即无解。
动态规划
1.有$n$个有权值的物品,$q$次询问删去一个物品$i$后在大小为$V$的背包中获得最大收益。删除操作独立。
2.有$n$个有权值的物品,$q$次询问删去一个物品$i$后在大小为$V$的背包中获得最大收益。删除操作不独立。
3.有$n$个有权值的物品,$q$次询问删去若干个物品后在大小为$V$的背包中获得最大收益。删除操作独立。
杂题
1.已知一个序列,任意交换至有序的次数是其逆序对个数。那么若有两个类型的序列混成一个序列(213213),其任意交换两数至有序(不一定要连续,如123123)的次数?
2.长度为$n$的序列,每个元素在$1...m$内均匀随机,求该序列gcd为d的概率。要求组合式子。
转载于:https://www.cnblogs.com/antiquality/p/9703635.html
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