一.基本理论

a%b=a−b∗⌊ab⌋a \% b = a-b*\lfloor\frac{a}{b}\rfloora%b=a−b∗⌊ba⌋

1.基本概念：

给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式 n=kp+rn = kp + rn=kp+r
　　
其中k、rk、rk、r是整数，且 0≤r<p0 ≤ r < p0≤r<p，称呼kkk为nnn除以ppp的商，rrr为nnn除以p的余数。

对于正整数p和整数a,ba,ba,b，定义如下运算：

取模运算：a%pa \% pa%p (或amodpa mod pamodp)，表示a除以p的余数。

模p加法：(a+b)%p(a + b) \% p(a+b)%p ，其结果是a+ba+ba+b算术和除以p的余数，也就是说，(a+b)=kp+r，(a+b) = kp +r，(a+b)=kp+r，则(a+b)%p=r。(a + b) \% p = r。(a+b)%p=r。

模p减法：(a−b)%p(a-b) \% p(a−b)%p，其结果是a−ba-ba−b算术差除以p的余数。

模p乘法：(a∗b)%p(a * b) \% p(a∗b)%p，其结果是a∗ba*ba∗b算术乘法除以p的余数。

2.说明：

1. 同余式：正整数a，ba，ba，b 分别对 ppp 取模，它们的余数相同，记做 a≡b%pa ≡ b \% pa≡b%p或者a≡b(modp)。a ≡ b (mod p)。a≡b(modp)。

2.n%pn \% pn%p得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如：7%4=37\%4 = 37%4=3， −7%4=−3，7%−4=3，−7%−4=−3-7\%4 = -3， 7\%-4 = 3， -7\%-4 = -3−7%4=−3，7%−4=3，−7%−4=−3。

3.基本性质

（1）若p∣(a−b)，p|(a-b)，p∣(a−b)，则a≡b(%p)a≡b (\% p)a≡b(%p)。例如 11≡4(%7)，11 ≡ 4 (\% 7)，11≡4(%7)， 18≡4(%7)18 ≡ 4(\% 7)18≡4(%7)

（2）(a%p)=(b%p)(a \% p)=(b \% p)(a%p)=(b%p)意味a≡b(%p)a≡b (\% p)a≡b(%p)

（3）对称性：a≡b(%p)a≡b (\% p)a≡b(%p)等价于b≡a(%p)b≡a (\% p)b≡a(%p)

（4）传递性：若a≡b(%p)a≡b (\% p)a≡b(%p)且b≡c(%p)b≡c (\% p)b≡c(%p)，则a≡c(%p)a≡c (\% p)a≡c(%p)

运算规则

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：

(a+b)%p=(a%p+b%p)%p(a + b) \% p = (a \% p + b \% p) \% p(a+b)%p=(a%p+b%p)%p （1）

(a−b)%p=(a%p−b%p)%p(a - b) \% p = (a \% p - b \% p) \% p(a−b)%p=(a%p−b%p)%p （2）

(a∗b)%p=(a%p∗b%p)%p(a * b) \% p = (a \% p * b \% p) \% p(a∗b)%p=(a%p∗b%p)%p （3）

(ab)%p=((a%p)b)%p(a^b) \% p = ((a \% p)^b) \% p(ab)%p=((a%p)b)%p （4）

结合率： ((a+b)%p+c)%p=(a+(b+c)%p)%p((a+b) \% p + c) \% p = (a + (b+c) \% p) \% p((a+b)%p+c)%p=(a+(b+c)%p)%p（5）

((a∗b)%p∗c)%p=(a∗(b∗c)%p)%p((a*b) \% p * c)\% p = (a * (b*c) \% p) \% p((a∗b)%p∗c)%p=(a∗(b∗c)%p)%p （6）

交换率： (a+b)%p=(b+a)%p(a + b) \% p = (b+a) \% p(a+b)%p=(b+a)%p （7）

(a∗b)%p=(b∗a)%p(a * b) \% p = (b * a) \% p(a∗b)%p=(b∗a)%p （8）

分配率： ((a+b)%p∗c)%p=((a∗c)%p+(b∗c)%p)%p((a +b)\% p * c) \% p = ((a * c) \% p + (b * c) \% p) \% p((a+b)%p∗c)%p=((a∗c)%p+(b∗c)%p)%p （9）

重要定理：若a≡b(%p)，a≡b (\% p)，a≡b(%p)，则对于任意的ccc，都有(a+c)≡(b+c)(%p)(a + c) ≡ (b + c) (\%p)(a+c)≡(b+c)(%p)；（10）

若a≡b(%p)a≡b (\% p)a≡b(%p)，则对于任意的ccc，都有(a∗c)≡(b∗c)(%p)(a * c) ≡ (b * c) (\%p)(a∗c)≡(b∗c)(%p)；（11）

若a≡b(%p)a≡b (\% p)a≡b(%p)，c≡d(%p)c≡d (\% p)c≡d(%p)，则 (a+c)≡(b+d)(%p)(a + c) ≡ (b + d) (\%p)(a+c)≡(b+d)(%p)，(a−c)≡(b−d)((a - c) ≡ (b - d) (%p)(a−c)≡(b−d)(，

(a∗c)≡(b∗d)(%p)(a * c) ≡ (b * d) (\%p)(a∗c)≡(b∗d)(%p)，(a/c)≡(b/d)(%p)(a / c) ≡ (b / d) (\%p)(a/c)≡(b/d)(%p)；（12）

若a≡b(%p)a≡b (\% p)a≡b(%p)，则对于任意的ccc，都有ac≡bc(%p)ac≡ bc (\%p)ac≡bc(%p)；（13）

二.基本应用

1.判别奇偶数　　2.判别素数3. 最大公约数　　4．模幂运算

1.快速幂运算

UVA10006 Carmichael Numbers

一个数是CarmichaelNumbersCarmichael NumbersCarmichaelNumbers
得满足它不是质数并且对于每一个i(1<i<n)i (1 < i < n)i(1<i<n)都满足in≡imodni ^ n \equiv i \mod nin≡imodn
我们如果暴力求解ini ^ nin
时间复杂度是O(n)O(n)O(n)妥妥的TLETLETLE
我们引进一个高效求xyx ^ yxy 的东西:
快速幂
什么是快速幂呢，就是把 xyx ^ yxy
变为
(1) ymod2=0:xy=(x2)y/2y \mod 2 = 0 : x ^ y = (x ^ 2) ^ {y / 2}ymod2=0:xy=(x2)y/2(

(2) ymod2=1:xy=x∗xy−1y \mod 2 = 1 : x ^ y = x * x ^ {y - 1}ymod2=1:xy=x∗xy−1 ，此时y为偶数

因为每次 yyy 都会除以2
所以快速幂的时间复杂度就为O(log2y)O(log_2y)O(log2y)
那么此题的时间复杂度就为O(T∗(n+n∗log2n))O(T * (\sqrt{n} + n * log_2n))O(T∗(n+n∗log2n))

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ifstream in("input.txt");
ofstream out("output.txt");
#define debug(x) cout<<"# "<<x<<endl
const ll N=100005;
const ll base=137;
const ll mod=2147483647;
const ll INF=1<<30;
ll n,m,x;
ll mod_pos(ll x,ll n,ll mod)
{ll res=1;while(n){if(n&1)res=res*x%mod;x=x*x%mod;n>>=1;}return res;
}
int main()
{while(~scanf("%lld",&n)&&n!=0){bool flag=true;for(int i=2;i*i<=n;++i){if(n%i==0)flag=false;}if(flag){printf("%lld is normal.\n",n);continue;}flag=true;for(int i=2;i<n;++i){if(mod_pos(i,n,n)!=i){flag=false;printf("%lld is normal.\n",n);break;}}if(flag)printf("The number %lld is a Carmichael number.\n",n);}return 0;
}

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