Leetcode (396 旋转函数)

问题：

给定一个长度为 n 的整数数组 A 。

假设 Bk 是数组 A 顺时针旋转 k 个位置后的数组，我们定义 A 的“旋转函数” F 为：

F(k) = 0 * Bk[0] + 1 * Bk[1] + ... + (n-1) * Bk[n-1]。

计算F(0), F(1), ..., F(n-1)中的最大值。

注意:
可以认为 n 的值小于 105。

示例:

A = [4, 3, 2, 6]

F(0) = (0 * 4) + (1 * 3) + (2 * 2) + (3 * 6) = 0 + 3 + 4 + 18 = 25
F(1) = (0 * 6) + (1 * 4) + (2 * 3) + (3 * 2) = 0 + 4 + 6 + 6 = 16
F(2) = (0 * 2) + (1 * 6) + (2 * 4) + (3 * 3) = 0 + 6 + 8 + 9 = 23
F(3) = (0 * 3) + (1 * 2) + (2 * 6) + (3 * 4) = 0 + 2 + 12 + 12 = 26

所以 F(0), F(1), F(2), F(3) 中的最大值是 F(3) = 26 。

来源：力扣（LeetCode）

暴力法（用表格计算F(k)）：

F	4	3	2	6
旋转0次	0	1	2	3
旋转1次	1	2	3	0
旋转2次	2	3	0	1
旋转3次	3	0	1	2

上表中： $F(k)=\sum A[i]*arr[k][i]$ ，而且，可以发现，arr每行的变化规律是每个位置都+1，如果+1后刚好等于n，那么就归0，也就是可以降维写成arr[i]=(arr[i]+1)%n

class Solution {
public:int maxRotateFunction(vector<int>& nums) {int MAX=INT_MIN,n=nums.size();vector<int> arr;arr.resize(nums.size());for(int i=0;i<n;i++)arr[i]=i; //初始化数组for(int i=0;i<n;i++){int sum=0;for(int i=0;i<n;i++)sum+=arr[i]*nums[i]; //求F(i)MAX=max(sum,MAX);for(int i=0;i<n;i++){arr[i]=(arr[i]+1)%n; //更新数组}}return MAX;}
};

数学推导法：

$F(0)=0*A[0]+1*A[1]+2*A[2]+3*A[3]$

$F(1)=0*A[3]+1*A[0]+2*A[1]+3*A[2]$

$F(2)=0*A[2]+1*A[3]+2*A[0]+3*A[1]$

$F(3)=0*A[1]+1*A[2]+2*A[3]+3*A[0]$

$F(1) - F(0) = A[0]+A[1]+A[2]+A[3] - 4*A[3]$

$F(2) - F(1) = A[0]+A[1]+A[2]+A[3] - 4*A[2]$

$F(3) - F(2) = A[0]+A[1]+A[2]+A[3] - 4*A[1]$

可以得出：

$F(k)=\begin{Bmatrix} F(k-1) + sum -n*A[n-k] & (k>0) & \\ sum-A[0] & (k=0) & \end{Bmatrix}$

class Solution {
public:int maxRotateFunction(vector<int>& nums) {long long last=0,sum=0;int n=nums.size();for(int i=0;i<n;i++){sum+=nums[i];last+=nums[i]*i;}long long MAX=last;for(int i=1;i<n;i++){last=last+sum-(long long)n*nums[n-i];MAX=max(MAX,last);}return (int)MAX;}
};

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