最小环+欧拉回路=最短哈密顿图

介绍

TSP(Traveling Salesman Problem)即旅行商问题，是数学领域中著名问题之一。这个问题是这样的：假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径长度为所有路径之中的最小值。TSP是一个典型的组合优化问题，且是一个NP完全难题，关于NP的这个概念本文就不做详细介绍了，但简单的说就是：TSP问题目前尚不能找到一个多项式时间复杂度的算法来求解。

n个城市 第一次选择n-1个城市，第二次n-2... 即要遍历n！次，普通遍历复杂度太高

算法

所以TSP旅行商问题有以下4种算法

贪心算法

模拟退火算法

遗传算法

基本蚁群算法

双调欧几里得旅行商问题

这种旅程即为从最左点开始，严格地从左到右直至最右点，然后严格地从右到左直至出发点。事实上，存在确定的最优双调路线的O(n*n)时间的算法。

是对平面上给定的n个点确定一条连接各点的最短闭合旅程的问题。 题目描述 现在笛卡尔平面上有n(n<=1000)个点，每个点的坐标为(x,y)(-2^31

思路

(1)首先将各点按照x坐标从小到大排列，时间复杂度为O(nlgn)。 (2)寻找子结构：定义从Pi到Pj的路径为：从Pi开始，从右到左一直到P1，然后从左到右一直到Pj。在这个路径上，会经过P1到Pmax(i,j)之间的所有点且只经过一次。

模板

#include

#include

#include

#include

#include

#define INF 1e30 //数据上限

using namespace std;

const int MAX = 1000;//点的最大数

int n;double dis[MAX][MAX],dp[MAX][MAX];

struct node{

double x,y;

}a[MAX];

bool cmp(node a,node b) {

return a.x < b.x;

}

double Euc(node a,node b){//计算欧几里得距离

return sqrt(pow(a.x - b.x,2) + pow(a.y - b.y,2));

}

double DP(){

sort(a,a + n,cmp);//排序

for(int i = 0;i < n;i++){

for(int j = i + 1;j < n;j++){

dis[i][j] = Euc(a[i],a[j]);

dp[i][j] = INF;

}

}

dp[0][1] = dis[0][1];

for(int i = 0;i < n;i++){

for(int j = i + 1;j < n;j++){

dp[i][j + 1] = min(dp[i][j + 1],dp[i][j] + dis[j][j + 1]);

dp[j][j + 1] = min(dp[j][j + 1],dp[i][j] + dis[i][j + 1]);

}

}

double ans=INF;

for(int i = 0;i < n - 1;i++) ans = min(ans,dp[i][n - 1] + dis[i][n - 1]);

return ans;

}

int main(){

scanf("%d",&n);

for(int i = 0;i < n;i++)

scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y);

double ans=DP();

printf("%0.2lf\n",ans);

return 0;

}

例题