自然界和人类社会中的一切事物都在随时间不断发生变化，以时间作为参照系来研究事物运动现象及规律的方法通常称为时域（Time Domain）分析方法。时域是真实存在的世界，我们观察到的股票价格波动就是在时域中发生的运动现象。

从时域角度看，事物随时间发生变化的现象可分为两类：确定性现象和随机现象。确定性现象的特点是在一定条件下必然发生的现象，如竖直上抛一枚硬币，硬币必然在重力作用下落地，其运动轨迹可用确定性的时间函数来描述。随机现象的特点是在一定条件下，在任意时刻的取值具有不确定性，呈现一种偶然性。如竖直上抛一枚硬币，硬币落地后有可能正面朝上，也有可能正面朝下。对于随机现象，虽然在个别试验中呈现出不确定性，但在大量重复试验时，其结果又会表现出十分明显和稳定的统计规律。例如，多次上抛硬币，出现正面和反面的次数趋于相同，即出现正面和反面的概率均为1/2。

频域（Frequency Domain）是描述事物运动频率特性时用到的一种坐标系，频域以频率轴为坐标表示事物运动与频率之间的数量关系。频域最重要的特点是：它不是真实的世界，而是一个抽象的数学构造。频域分析能够引导人们从随机现象的表面特征深入到随机现象的内部本质，看到时域角度看不到的问题，发现隐藏在随机现象下的确定性运动，从而能深刻地揭示出随机现象的确定性特征及规律。另外，频率特性不仅能描述随机运动过去和现在的确定性特征及规律，而且也能描述随机运动未来的确定性特征及规律，因此，频域也被专业学者们称为上帝的视角。

使用傅立叶变换（Fourier Transformation），任何随时间变化的确定性或随机运动，均可被分解成为不同频率的谐波分量，而每个谐波分量又可用确定性的正弦或余弦函数表示（图1）。随机现象虽然在时域无法用确定性的时间函数来描述，但是在频域却可用确定性的频率函数表示，提供比时域更直观、更丰富的信息内容。

对股票价格进行频域分析，首先利用傅立叶变换将股票价格曲线分解为不同频率的谐波分量，并从中提取出波动幅度最大的确定性谐波分量。然后在该谐波分量的底部买入和顶部卖出，就能在降低投资风险的前提下，做到“低买高卖”，获取最大投资收益。

一、股票价格差分的频率特性

根据股票价格运动定律，股票对数价格（简称股票价格）

式中

式中

式（2）表明，白噪声在任何两个不同时刻的值互不相关，因此白噪声在时域中的变化极快。图2为白噪声（上证指数差分）波形，下一时刻的变化方向和大小完全随机、无法预测，不能用确定性的数学关系式进行描述。

根据维纳-辛钦定理，宽平稳随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅立叶变换，可得白噪声

白噪声

“白噪声”的名称来源于牛顿。1666年，牛顿用三棱镜证明了太阳发出的白光是由各种频率不同的单色光混合而成，后来人们就将具有相同功率，但频率不同的音频信号混合成的信号称为白噪声。

二、股票价格频域特性

白噪声中包含了所有频率的谐波分量，而且各个谐波分量的幅值相同。假设频率为

式中，

式（4）即为股票价格的频域特性，其幅频特性如图4所示。

式（4）和图4的幅频特性表明，白噪声经过积分运算后，变为幅频特性与频率成反比的有色噪声，其能量主要集中在低频段，这种噪声在通讯领域被称为随机游走噪声或布朗噪声。在可见光频段，这种噪声的能量主要集中在波长最长的红光，因此又被称为红噪声。自然界有很多具有红噪声特性的声音，如瀑布声、大雨声和海浪波涛声等，它们的音频波形与股票价格收盘线完全相似。红噪声可以使人心情放松并进入冥想状态，许多助眠产品其实就是使用红噪声帮助入睡。

股票价格在频域具有如下的特点：

（1）股票价格的频域特性

（2）

（3）由于

（3）

（4）股票价格波动的幅度与波动频率成反比（或与波动的周期成正比），与技术分析中的道氏理论观察结果完全一致。

“股票价格波动的幅度与波动频率成反比”这一幅频特性对降低股票投资风险和收益最大化具有非常重要的意义。在实际的股票市场，以年为周期的低频波动是波动幅度最大的波动，并且具有很大的惯性，是股票价格波动中的确定性波动。因此，以周期为年的波动作为投资决策依据，在其底部买入、顶部卖出，就可降低投资风险并实现收益最大化。

但是，以年为周期的低频波动由于其周期较长，其斜率（日增长率）大大小于日常随机波动的幅度，因此在股票价格曲线中，低频波动完全被随机噪声所淹没，人们很难直接从股票价格曲线中看出确定性的低频波动。例如，在2005年-2007年的大牛市中，上证指数从2005年6月6日的998.23点一直上升到2007年10月16日的6124.04点，增长幅度高达613.48%，但是平均到每个交易日却只增长了0.3%，而上证指数在每个交易日的随机波动标准差就为3.1%，最大波动幅度达9%，远远大于低频波动0.3%的日增长率。因此，上证指数的上升趋势完全被日常随机波动所淹没，上证指数的K线实体长度几乎就代表了随机噪声的幅值，仅根据K线难以判断出上证指数的确定性上升趋势。

股票分析软件中的长期移动平均线可以过滤股票价格波动中的随机噪声，并提取出股票价格波动中的低频波动。遗憾的是，从长期移动平均线获得的股票价格低频波动曲线严重滞后于实际股票价格波动曲线，难以为股票分析和股票投资提供准确、及时的科学决策信息。

三、道氏理论

道氏理论是技术分析的理论基础，由发明著名的DJIA道琼斯指数、并创办《华尔街日报》的查尔斯·道（Charles Dow）提出。通过对股票市场的多年观察，查尔斯·道发现股票价格运动中存在以下三种波动：

基本波动：持续1年或1年以上的波动，看起来像大海中的潮汐现象（海平面垂直方向上的周期性涨落）。基本波动的波动幅度最大，其上升过程构成了股票市场中的牛市，下降过程构成股票市场中的熊市，基本波动可为投资者提供科学决策信息；

次级波动：持续3周到3个月的波动，看起来像大海波浪，波动幅度为基本运动幅度的三分之一左右；

日常波动：具有很强随机性的波动，看起来像海面上的波纹，波动幅度很小。

道氏理论认为，股票价格运动由基本波动、次级波动和日常波动三个级别的波动叠加而成。基本波动上升时会形成股票市场中的牛市，基本波动下降时会形成股票市场的熊市。基本波动具有很大的惯性，一旦形成趋势就会持续一段时间，因此基本波动的趋势可以被预测。次级波动的方向与基本波动的方向可能相同，也可能相反。当次级波动的方向与基本波动相反时，在牛市中会形成幅度较大的中期调整，使投资者误认为股票市场开始下跌；在下降过程中会形成幅度较大的反弹，使投资者误认为股票市场开始反转。因此，次级波动具有很大的欺骗性，难以为投资者提供准确、可靠的科学决策信息。日常波动随机性很强，不可预测，虽然其波动幅度不大，但是对判断基本波动趋势会带来很强的干扰。

查尔斯·道的伟大之处在于，在100多年前就从频域角度将股票价格运动分解为三种波动，并非常形象地用大海中的潮汐、波浪和波纹来分别形容股票市场的低频、中频和高频波动，阐明了依据基本波动买卖股票的投资原理。道氏理论受历史局限性，其缺点是没有给出分析和判别基本波动的方法。

四、股票价格波动分解模型

在时域，股票价格的低频波动（基本波动）、次级波动和日常波动相互叠加，由于低频波动的斜率很小，因此完全被日常波动和次级运动所淹没；在频域，低频波动、次级波动和日常波动处于不同的频段，而且低频波动具有最大的波动幅度，日常波动和次级运动等高频波动的幅度相对很小，在频域很容易发现并提取出股票价格中的低频波动。

根据股票价格频域特性，道氏理论中的日常波动和次级波动频率均高于低频波动的频率。设

其中

对式（5）进行傅里叶逆变换，可得股票价格波动分解模型：

其中

式（6）的股票价格波动分解模型清晰地说明了股票价格波动的构成。在时域，股票价格中的低频波动

五、股票价格低频波动的提取与分析

首先对上证指数收盘价

图5用柱状实体线表示上证指数低频波动曲线。柱状实体的长短表示每周变化量（斜率）的大小，柱状实体的颜色代表每周变化量的方向，红色为正，白色为负。

根据柱状实体的长度变化情况和颜色，就可判断出低频波动曲线的上升、下降、极大值（上证指数顶部）和极小值（上证指数底部）等运动状态。

加速上升：红色柱体由短变长；

减速上升：红色柱体由长变短，当红色柱体的长度逐渐趋于零时，表示低频波动曲线将趋于极大值（顶部状态）；

顶部：柱体颜色由红变白；

加速下跌：白色柱体由短变长；

减速下跌：白色柱体由长变短，当白色柱体的长度逐渐趋于零时，表示低频波动曲线将趋于极小值（底部状态）；

底部：柱体颜色由白变红；

由于低频波动曲线在到达极大值和极小值前有一个斜率逐渐趋于零的过程，因此可以利用柱状实体的长度变化，提前几周预测出上证指数的顶部和底部。

图5中的低频波动曲线已经消除了道氏理论所描述的次级波动（上升过程中的中期调整和下跌过程中的反弹），因此在从底部到顶部的整个上升区间，低频波动曲线为单调递增函数，柱状实体始终为红色，在此区间可以放心买入并持有；在顶部到底部的整个下跌区间，低频波动为单调递减函数，柱状实体始终为白色，在此区间要坚决卖出并保持空仓。

参考文献

股票价格波动的数学原理