题面

题目背景

大名鼎鼎的 OI 天花板选手 JZM 对自己的好伙伴——印象笔记有些生疏了

题目描述

作为一名 OI 选手，他的笔记中的字母只包含数字0和1。
JZM 在印象笔记中找到了一行 NNN 个字母的印象语录，而 JZM 打算朗读一段长度为 MMM 的话语。由于 JZM 记得不是很清楚，他需要从印象语录的某一个位置开始，对照着印象语录进行朗读。当印象语录上的当前字符和 JZM 话语中即将朗读的字符不一样时，JZM 就会跳过这对不一样的字符继续朗读下一个位置，我们称之为发生一次停顿。JZM 所要朗读的话语有些段落文辞优美，有些段落儒雅随和。具体地，该话语中第 iii 个字符有优美度 fif_ifi，如果在第 iii 个字符上发生停顿，JZM 的容忍度就会减少 fif_ifi 。JZM 的初始容忍度为 KKK，当他的容忍度降至 0 以下时，JZM 就不想继续朗读了。

例如，印象语录为 1101110，而 JZM 则打算从第 3 个字符开始对照，朗读 110011，K=1K=1K=1，f={1,1,4,5,1,3}f=\{1,1,4,5,1,3\}f={1,1,4,5,1,3} 。

过程中，印象语录的第三个字符 0 与 JZM 所要朗读的第一字符 1 不同，于是他发生了一次停顿，容忍度减少 1 。

之后，语录中的第四个字符 1 和话语的第二个字符 1 相同，顺利朗读，进入下一对。

印象语录的第五个字符 1 与 JZM 所要朗读的第三个字符 0 不同，于是他又发生了一次停顿，容忍度减少 4，变为 -4，于是 JZM 停下了朗读。

我们把 JZM 停下朗读时当前进行到印象语录中字符的位置称为终止位置，上面这个例子中， JZM 的终止位置为 5 。特别地，假如 JZM 从第 iii 个位置开始顺利朗读完了 MMM 个字符，他的终止位置是 i+Mi+Mi+M；假如读到一半印象语录结束了，他的终止位置是 N+1N+1N+1 。

JZM 此时要断章取义，他想尽可能顺利地朗读话语，于是身为 OI 领头羊的他把这个小任务交了你，希望你能告诉他，对于每一个可能的朗读起始位置 1 到 N ，他的终止位置会是哪里。

输入格式

第一行三个整数 NMKN\;M\;KNMK 表示印象语录的长度，JZM 朗读话语的长度和 JZM 的容忍度。
第二行 NNN 个 0/10/10/1 字符，为印象语录。
第三行 MMM 个 0/10/10/1 字符，为 JZM 朗读的话语。
第三行 MMM 个整数，为话语中每一个字符的优美度。

输出格式

输出一行 NNN 个整数，第 iii 个整数表示对于朗读起始位置 iii ，JZM 的终止位置会是哪里。

Sample Input

20 10 15
10011111001101010110
1011110101
2 1 4 7 4 8 3 6 4 7

Sample Output

11 12 13 13 11 13 17 15 19 15 20 18 20 21 21 21 21 21 21 21

数据范围

对于测试点1: N,M≤103N,M \leq 10^3N,M≤103
对于测试点2~3: K=0K=0K=0
对于测试点4 : K≤100K\leq 100K≤100
对于测试点5~6：话语中所有字符均为 1
对于测试点7~10 : 无特殊限制
对于所有的数据，1≤N,M≤105,0≤K≤108,1≤fi≤1031\leq N,M\leq 10^5\;,\;0\leq K\leq 10^8\;,\;1\leq f_i\leq10^31≤N,M≤105,0≤K≤108,1≤fi≤103
时间限制 2 s，空间限制 64 MB。

题解

考试中，我正敲着 K ≤ 100 的部分分，调试着后缀数组+ RMQ 的百行大代码，忽然听见对面的大佬们在小声讨论：
\;\;\;\;“你用的是 FFT 还是 NTT ？我觉得 FFT 可能有点慢。”
NTT ？哪一到题？T1 跟 NTT 有什么关系？
\;\;\;\;“你开的块大小是多少？我开了 3000”
分块？・∀・？怎么又跟分块扯上关系了？
罢了罢了，肯定不是这道题。
于是我就打了前面四个点的暴力，相比起他们的 AC，我只拿了 50 pts（多了十分？看下文）

如果限定终止位置在哪里，我们就可以想想怎么快速地算容忍度会降多少，是否降到 0 以下。
设话语为 S 字符串，印象语录为 T 字符串，ansians_iansi 代表第 iii 个位置开始匹配完整个字符串 S 后消耗的容忍度，则：
ansi=∑j=1m(S[i+j−1]xorT[j])⋅fjans_i=\sum_{j=1}^{m}(S[i+j-1]\,xor\,T[j])\cdot f_jansi=j=1∑m(S[i+j−1]xorT[j])⋅fj

这是笔者进行的基础的题面翻译，大佬们是怎么跟 NTT 扯上关系的呢？

我们想，异或的本质是同 0 异 1，互异的情况只有 0,1 和 1,0 （这不废话）

于是考虑这两种情况算贡献，顺便把 i+j−1i+j-1i+j−1 变成 k,(k−j=i−1)k\;,(k-j=i-1)k,(k−j=i−1)：
ansi=∑k−j=i−1fj([Sk=1][Tj=0]+[Sk=0][Tj=1])ans_i=\sum_{k-j=i-1}f_j([S_k=1][T_j=0] + [S_k=0][T_j=1])ansi=k−j=i−1∑fj([Sk=1][Tj=0]+[Sk=0][Tj=1])

其中的 [Sk=1][S_k=1][Sk=1] 是个条件表达式，Sk=1S_k=1Sk=1 则值为 1，否则为 0，或许这样还是不太明显，我们再变：
ansi=∑k−j=i−1[Sk=1]⋅(fj[Tj=0])+∑k−j=i−1[Sk=0]⋅(fj[Tj=1])ans_i=\sum_{k-j=i-1}[S_k=1]\cdot (f_j[T_j=0]) + \sum_{k-j=i-1}[S_k=0]\cdot (f_j[T_j=1])ansi=k−j=i−1∑[Sk=1]⋅(fj[Tj=0])+k−j=i−1∑[Sk=0]⋅(fj[Tj=1])

两个卷积！（只需把数组倒一倒）这该是多么强的直觉才能发现是卷积啊

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