matlab 数值计算课二阶微分方程-龙格库塔方法 ODE45

详见mathworks

龙格库塔方法

写成矩阵（状态方程）的形式更简洁一点（其实这两种方法结果是一样的，如果C是[1,0,0]的话，就很明显了）

例如：求系统在0-5s内的单位阶跃相应，已知传递函数：

状态方程：

clear
%状态方程
A=[0,1-100,-10];
B=[0;1];
C=[100,0];
%初值
x=[0;0];y=0;t0=0;tf=5;
h=0.05;%步长
t=t0;%从t0开始迭代，储存时间
N=round((tf-t0)/h);     %迭代步数
r=1;%单位阶跃输入
for i=1:N   k1=A * x+B*r;k2=A * (x+h*k1/2)+B*r;k3=A * (x+h*k2/2)+B*r;k4=A * (x+h*k3)+B*r;x=x+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;                    %采用四阶龙格库塔法y=[y,C*x];                                    %输出值t=[t,t(i)+h];
end
plot(t,y);

结果：

matlab中传函转化状态空间方程的函数

构造传函：

M=100;%分子
N=[1,10,100];%分母
G=tf(M,N);%传函

转换：

    g=ss(G);%状态方程A=g.A;%各个系数矩阵B=g.B;C=g.C;

ODE45

函数句柄的创建

1、直接@

A=@sin(x);
A(pi)

2、创建匿名函数

%定义函数f(x)=x^2
f = @(x) x^2;
f(2)

ODE45使用
[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0)
t：自变量
y(t):因变量
odefun：函数句柄(自动y’=)
tspan:t的范围，如[0,10]
y0：初值

1、一阶方程

a=@(t,y) 2*t;
[t,y] = ode45(a, [0 5], 0);
plot(t,y)

2、二阶方程

先转化为两个一阶微分：

创建m文件：

function dydt = vdp1(t,y)
dydt = [y(2); (1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];%括号不可省，不是变量，y是2x1列向量

调用ode45

[t,y] = ode45(@vdp1,[0 20],[2; 0]);
plot(t,y)

输出y两列，分别为y(1)和y(2）

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