趋势外推法是根据事物的历史和现时资料，寻求事物发展规律，从而推测出事物 未来状况的一种比较常用的预测方法。利用趋势外推法进行预测，主要包括六个阶段：& t. M( m; a; y- D3 v

5 T( e' Q8 v% U% O  Q2 i( N(a)选择应预测的参数； (b)收集必要的数据；   (c)利用数据拟合曲线；  E- P/ e/ e+ c% T3 g% m

* y, k, D& b/ k3 @

(d)趋势外 推；(e)预测说明；(f)研究预测结果在进行决策中应用的可能性。6 Q+ B! j9 t# D. u

0 c4 [4 P% H# g; n: i趋势外推法常用的典型数学模型有：指数曲线、修正指数曲线、生长曲线、包络 曲线等。 * }2 a0 P. t. p9 b+ \9 k+ c: t

U" _3 T9 a! @. K" \* Q; c8 g# K4 w& ~

指数曲线法

1 w% p1 z; B1 L& c1 s( D一般来说，技术的进步和生产的增长，在其未达饱和之前的新生时期是遵循指数 曲线增长规律的，因此可以用指数曲线对发展中的事物进行预测。 $ K+ i0 E# e5 M7 u( f

q) R. f+ h' y9 C

, v' {( O4 R9 L* a- m$ [7 Y' x

. N% w. L) Z+ p* E) W& U& s

6 O; A  o+ s$ A3 i

) _8 h# `! U) ?. H) {) e; X3 e2 \# g& D

# @* w/ \; s1 n6 r! k2 D

修正指数曲线法

- l- Y( S$ u+ B, z! D. ]) h利用指数曲线外推来进行预测时，存在着预测值随着时间的推移会无限增大的情 况。这是不符合客观规律的。因为任何事物的发展都是有一定限度的。例如某种畅销产 品，在其占有市场的初期是呈指数曲线增长的，但随着产品销售量的增加，产品总量接 近于社会饱和量时。这时的预测模型应改用修正指数曲线。 ' v1 {! U6 ^0 K' \. r5 D

, ~0 h6 f# W. y3 S( @

( c  N% N* e9 u% v0 I

6 ]2 t/ Y5 L- ~- b* W$ d  }三和法

w" n3 V8 D. t6 A  I$ W1 f- I" A; R3 M! c1 x/ j7 C

0 }5 W" S' Q) Z3 e/ \

7 F0 X1 ^# X/ Y- `

6 f, X8 O( x; H  S7 s# Q, }

7 ^$ a, ?! q1 I: M3 |! _

3 t  X- w, l! a9 H: g) p) e例 8  根据统计资料，某厂收音机连续 15 年的销售量如表 11。 试用修正指数曲线预测 1986 年的销售量。

7 }4 x, d+ b) t' [, _- I

. w/ ?& `! a. g8 z% G' q

9 h* V# @$ t- L; k0 K9 t  }

4 w$ M" s" [' H; N8 R

" h+ B; c1 ^9 k- A  d- d; [

2 K2 y! l6 ~0 I- O* ]% R& @+ w

7 f# S* m5 @4 L# W( g计算的 MATLAB 程序如下：9 `% P. J* {, U8 n

e3 z0 T' |6 r6 p

function chanliang $ S' y9 _4 a3 y; x+ y! `9 C

clc,clear " z* {# d2 t6 V

global a b k ) @8 P; w& z0 g' A, P# O

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* o+ P, w4 z8 f0 f. j5 H6 fyt=xsh; n=length(yt);m=n/3 0 t6 O, p  F( G

cf=diff(yt);

0 M7 ]% g6 Z' P$ [for i=1:n-2

7 V- l6 _) Z& O: [  B    bzh(i)=cf(i+1)/cf(i);

@* n: k7 b$ S+ M1 V! v, g1 Bend

, q7 A: E! R- crange=minmax(bzh) . ?' ~, B  j( R: n1 w" H. k

s1=sum(yt(1:m)), s2=sum(yt(m+1:2*m)), s3=sum(yt(2*m+1:end))

% a3 V+ l+ d2 r! ?7 jb=((s3-s2)/(s2-s1))^(1/m) a=(s2-s1)*(b-1)/(b*(b^m-1)^2) - a2 |1 V5 P  G% g/ t" R

k=(s1-a*b*(b^m-1)/(b-1))/m . L5 ]/ r' o9 f$ w5 e6 n" K

y=yuce(1:18)

N) E8 N8 H1 A1 E%************************************ ( {) z0 n/ G( M& `; I

%定义预测函数 $ j0 H! O2 t1 I' X7 A2 e2 P" B

%************************************ " u6 C5 M  ^9 z: N! e

function 5 w6 P  ^  Z8 J

y=yuce(t) 6 F7 x+ u0 e# L/ n9 e

global a b k

( O1 S! p: {; h4 V& i5 i& {4 F/ ~y=k+a*b.^t;

4 D/ h6 D! H3 ?0 B1 u6 f" |) r1 n

7 X$ F; g6 p  b3 B( L5 j/ c( J& \1 N8 z. L$ K( i4 x7 I

Compertz 曲线

$ B# E/ B3 H' T! d( {6 i4 j4 C2 t

例 9(续例 8)  根据表 11 的数据，试确定收音机销售量的 Gompertz 曲线方程， 求出各年收音机销售量的趋势值，并预测 1986 年的销售量。

计算的 MATLAB 程序如下：function chanliang2 6 ]- t$ O; ]) @& Q

clc,clear ! I& @5 V* N2 z, {1 x8 q

global a b k - X  T0 s; U1 W4 g0 g

load xsh.txt %原始数据存放在纯文本文件 xsh.txt 中

; S4 n/ X6 Q7 [% R/ J: ~yt=log(xsh); n=length(yt);m=n/3; ' W; [; M: e/ s1 Q

s1=sum(yt(1:m)), s2=sum(yt(m+1:2*m)), s3=sum(yt(2*m+1:end)) 5 u" V0 R6 P/ E; d- ]

b=((s3-s2)/(s2-s1))^(1/m)

+ B9 Y' {3 }$ [: v' Y' ~% Na=(s2-s1)*(b-1)/(b*(b^m-1)^2) " ]+ \. k" N$ B7 {& |% Z. X; W  h5 F

k=(s1-a*b*(b^m-1)/(b-1))/m a=exp(a)

7 v, _6 K, H/ U- C  Ok=exp(k)

1 I' m  L. v$ R, D, p) x! hy=yuce(1:18) " A9 f& a# r. V, w' ~

%************************************ %定义预测函数 %************************************ function y=yuce(t); 5 E  f) n$ `. B7 d$ b/ ^5 v1 G

global a b k

$ m0 Z# S2 Q5 N) `: O5 g3 h4 dy=k*a.^(b.^t); / o- w! Z* G0 P6 c0 J3 A# N( f

9 s1 X) [8 ?* l, d, z- R( z. |. w

Logistic 曲线(生长曲线) 8 l" n, K6 W, U$ K# z: ]

生物的生长过程经历发生、发展到成熟三个阶段，在三个阶段生物的生长速度是不 一样的，例如南瓜的重量增长速度，在第一阶段增长的较慢，在发展时期则突然加快， 而到了成熟期又趋减慢，形成一条 S 形曲线，这就是有名的 Logistic 曲线(生长曲线)，很多事物，如技术和产品发展进程都有类似的发展过程，因此 Logistic 曲线在预测中有 相当广泛的应用。 ) _& N9 Z$ s8 c  G$ R

- n" V2 a' ~! `) O* _5 y

% b4 m" V/ l" J+ q7 C9 n/ q. V

) b- Q# p2 g, `4 ~6 e

, \; r, a/ @7 H2 N1 c$ G

7 B/ O1 i% l' `; Q( q1 n9 C6 ?

' g: S) G; I% g/ O& e: N" _: d- ~7 B

例 10(续例 8)  根据表 10 的数据，试确定收音机销售量的 Logistic 曲线方程， 求出各年收音机销售量的趋势值，并预测 1986 年的销售量。

# y2 n2 i2 Z0 G6 u, d! d3 O

+ E4 d" \% T: O& W: h& s

) q  A% _- ~1 ~0 B7 W3 x

- [9 t  p. Q$ \

/ R6 o  Y0 U9 d( S9 F6 S+ U# \

! m( V) K. V# G: ~5 k计算的 MATLAB 程序如下： 2 e, i. O5 z9 @" C& V

1 s6 _, q  j4 q  E

function chanliang3 ; }; D% O3 U3 a# g& M$ J' G

clc,clear 1 {: P8 S9 y0 Q5 C% B

global a b k

$ P: A8 I0 W: \# l' n6 a0 v) Sload xsh.txt %原始数据存放在纯文本文件 xsh.txt 中 + F) J% t* h  _

yt=1./xsh; n=length(yt);m=n/3; / U' m, ^- x& V% U& {

s1=sum(yt(1:m)), s2=sum(yt(m+1:2*m)), s3=sum(yt(2*m+1:end)) * e+ d' j% ^' |& {: ~+ w9 n

b=((s3-s2)/(s2-s1))^(1/m) 4 U0 h" g( p, j6 k; {

a=(s2-s1)*(b-1)/(b*(b^m-1)^2) , `: j9 `+ {' e

k=(s1-a*b*(b^m-1)/(b-1))/m

% A/ H' `1 N) i$ U* K+ _y=yuce(1:18) 1 g0 T$ Y$ P9 S; T% `

%************************************ %定义预测函数 %************************************ function y=yuce(t);

, P3 \3 g3 T3 Xglobal a b k

! Z2 ]* a0 W" v2 r% K$ Uy=1./(k+a*b.^t);

3 j4 V1 ~# h! C5 B* y! Y% j

, K5 @& _7 k( G% K7 {8 w! o+ j( A

3 ~* v& e  s- j# Z. D" f

趋势线的选择

趋势线的选择有以下几种方式

当有几种趋势线可供选择时，应选择S 小的趋势线。) O9 b+ z" n% s% v' r

& i: v; T0 p- x' u0 m  v& x3 F; ]" S1 S. ?0 ^# Z) ]3 M- Q

————————————————( L- H) J, Y& J. t: ~

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: q2 Q% s0 C. k! ]1 M* g

. }' K# L& H$ m) b

' ^. b* |. f; N  E- @$ h/ @- |