DP动态规划--最大子段和问题

DP–最大子段和问题（动态规划）

问题：
有n个整数组成一个a1，a2，a3，… ，an序列。求其子段和的最大值（子段是连续的）

比如{-2，11，-4，13，-5，-2}，最大子段和就是11-4+13=20

解题思路：
这是一个很典型的动态规划性质的题目，我们先设置一个dp数组

dp[i]表示以a[i]为结尾的子段的最大子段和。这里注意一定要以a[i]结尾而不是a[1]到a[i]间任意子段，因为这样有利于利用与维护其最优子结构性质

得到递推式：

（1.）dp[i]=dp[i-1]+a[i]-------当dp[i-1]>0时，
（2.）dp[i]=a[i]-----------------当dp[i-1]<=0时。

具体的看源码吧–>
参考代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int a[110];
int MaxSum_list(int n, int a[110]) {//求出一维数组（a[]）的最大子段值int Max = -inf;//注意这里要用-inf初始化，否则遇到全负的情况则会出现最大值为0的情况//除非规定全负时最大子段值就是0int dp = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {dp = max(dp + a[i], a[i]);//如果dp[i-1]<0,则dp[i]=a[i];否则dp[i]=dp[i-1]+a[i]//由于我们只需要知道最大值，所以不需要开dp数组，直接用Max维护最大值就行了Max = max(dp, Max);}return Max;
}
int main() {int n;cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> a[i];}int dp[110];//dp[i]表示以i为子段尾部下标的最大子段和值。memset(dp, 0, sizeof(dp));//初始化dpfor (int i = 1; i <= n; i++) {if (dp[i - 1] < 0) {//如果以i-1为尾部下标的最大子段和小于零，则以i为尾部下标的最大子段显然不包括i之前的元素，所以dp[i]即a[i]dp[i] = a[i];}else {dp[i] = dp[i - 1] + a[i];} //即dp[i] = max(dp[i - 1] + a[i], a[i]);}for (int i = 1; i <= n; i++) {cout << "dp[" << i << "]=" << dp[i] << endl;}//函数里内容也差不多，这里输出一下看看cout << "最大子段和为：" << MaxSum_list(n, a) << endl;
}

看到dp数组动态规划后的值，可以轻松看出最大子段和为dp[4]=20.

总结：
这是一个非常简单的问题，但通过这题可以充分了解到动态规划的一些思想，但要熟练掌握dp，是一件很难的事情，还需要大量题型的磨练

这里是这个问题的拓展与推广：DP动态规划–最大子矩阵和问题(最大子段问题的推广即二维最大子段和问题)-To the Max（POJ - 1050题解）
大家可以继续学习与参考。

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