小波变化笔记-Wavelet Tutorial

英文原文链接：http://users.rowan.edu/~polikar/WTpart3.html；

| Multiresolution Analysis and the Continuous Wavelet Transform

|| 多分辨率分析（MRA）

尽管时域和频域的分辨率问题是物理原理（Heisenberg测不准原理）的体现，我们可以通过multiresolution analysis(MRA) 来尽可能地对信号进行分析。MRA，如同其名字所揭示地，是从不同的频率和不同的分辨率上进行信号分析。其中，每一个谱分量并不像STFT那样被平均地分解。

MRA被设计成：1）在高频上有较好的时间分辨率但频谱分辨率较差；2）在低频分段有较好地频率分辨率但时间分辨率较差。

基于此设计，很明显该方法在高频持续时间短和低频持续时间长地情况下表现良好。我们应该感到幸运的是，在现实生活中，我们所遇到的大多数信号都是以上两种情况之一。下图展示了一个例子，该例子中，低频信号延续了整个片段，而高频则只出现了一会儿。

（这里只是一些概念介绍，以下是重头戏）

|| 连续小波变换

连续小波变换（Continuous Wavelet Transform, CWT）作为短时傅里叶变换（STFT）的一种替代方法，主要是克服了分辨率问题。

事实上，小波分析与STFT分析差异并不大，主要就是信号乘上的函数形式不一样了，其实和STFT里的窗函数相似。小波变换也是通过划分时域信号片段并独立计算得到。

CWT和STFT的两大主要区别罗列如下：

The Fourier transforms of the windowed signals are not taken, and therefore single peak will be seen corresponding to a sinusoid, i.e., negative frequencies are not computed.
小波变换的窗长是变化的，并不是如同STFT一样固定不变。

小波变换的公式定义如下：
CWTxψ(τ,s)=Ψxψ(τ,s)=1∣s∣∫x(t)ψ∗(t−τs)dtCWT_x^\psi(\tau,s) = \Psi_x^\psi(\tau,s) = \frac{1}{\sqrt{|s|}} \int x(t) \psi^* \left( \frac{t - \tau}{s} \right) dt CWTxψ(τ,s)=Ψxψ(τ,s)=∣s∣1∫x(t)ψ∗(st−τ)dt

从公式中可以看出，转换后的信号是两个变量τ\tauτ,sss的函数,分别被称为translation和scale参数。ψ(t)\psi(t)ψ(t)是变化函数，被称为小波基？（mother wavelet）。这个小波基的名字由来是它具有的两条重要性质，在下面解释：

词wavelet意为small wave（ennn…）。这里的“小”是针对窗函数是无限长的情况而言。这里的“波”指的是函数具有周期性。词mother暗示其他函数可以用这个来推导出来。换言之，小波基是其他窗函数的原型(prototype)。

（小波基小波基，又小又是基hhhhh）

词translation意同STFT里的平移？，它和窗函数的位置有关系-因为窗函数总是要移动覆盖整个信号。很明显，这个变量与变换域里的时间信息有关系。不同于STFT里的频率参数，CWT里采用尺度参数，被定义成1frequency\frac{1}{frequency}frequency1。我们接下来会对于尺度参数，也就是scale进行更加详细的探究。

尺度参数在干嘛？(The Scale)

在小波分析中，我们用到的scale其实和地图中的比例尺相似。在地图中，较大的比例尺对应不是特别细节的全局观，而较小的比例尺则对应较为细节的景色展现。在频率上也是如此–低频率（高尺度）对应信号的全局信息，而高频率（较小的尺度）则对应信号里隐藏的细节信息。以下是不同尺度的余弦信号的例子：

在实际场景中，低尺度（高频）信号并不会延续整个信号长度，就是高能大招一般不持久。但当其出现的时候，就是burst或者说spike产生的时候。233

尺度变化，作为一种数学运算，会拉伸或者压缩一个信号。更大的尺度对应着拉伸信号而小尺度则对应压缩信号。上图中给出的信号都是从一个余弦信号变换而来。在上图，s=0.05是最小尺度，而s=1是最大尺度。

用更加数学化的语言来说，给定f(t)，函数f(st) 是函数压缩后的结果，当s>1s > 1s>1；反之，则为拉伸结果。

值得注意的是，在小波变换中，尺度参数是位于分母上的！因此需要将上面的结论稍微修改一下以适应小波变换的情况。即，s > 1 是在拉伸信号，而s<1 是在压缩信号。

|| 关于CWT的计算问题

本段开始将仔细介绍小波变换的公式。为方便阅读，重新摘抄公式如下：
CWTxψ(τ,s)=Ψxψ(τ,s)=1∣s∣∫x(t)ψ∗(t−τs)dtCWT_x^\psi(\tau,s) = \Psi_x^\psi(\tau,s) = \frac{1}{\sqrt{|s|}} \int x(t) \psi^* \left( \frac{t - \tau}{s} \right) dt CWTxψ(τ,s)=Ψxψ(τ,s)=∣s∣1∫x(t)ψ∗(st−τ)dt

其中x(t)x(t)x(t) 为我们需要分析的目标信号，而小波基是作为所有窗函数的原型被选择出来。所有后面被使用的窗都可以由小波基函数的线性变化加上平移得到。满足这些条件的小波基函数其实数量不少，比如Morlet wavelet以及Mexican hat function（他俩在小波分析中的应用将在后面的例子中展示）。

一旦我们选定了小波基函数，公式的计算将从s=1 开始，并且连续小波变换将关于sss 做连续计算。但是，还是得视信号具体情况而定，因为通常来讲我们不需要或者完整的变换结果（为了符合实际应用的目的，信号都是带限（bandlimited）的）。因此，计算了尺度有限区间的变换值将足以符合需求。

方便起见，计算过程将从s=1s=1s=1 开始，并持续增加s的值。即，小波分析将从高频开始，然后逐步关注低频部分内容。函数关于sss 计算出来的值将是最被压缩的小波，然后伴随着sss的增大，小波将会拉伸。

在初始状态，小波函数将被置于信号开始点，即τ=0\tau = 0τ=0。小波函数将与伸缩后的信号相乘并关于时间做全积分。积分结果则将被乘上一个常数1s\frac{1}{\sqrt{s}}s1，这一常数是为了保证能量的一致性。最后得到的结果则是我们在τ=0,s=1\boldsymbol \tau=0,s=1τ=0,s=1 的情况下的小波结果。

在得到这一基础点的结果以后，我们可以改变τ\tauτ的值，即可以得到在t=τ,s=1t=\tau,s=1t=τ,s=1 的情况下的小波变换结果。

这一流程直到小波函数到达信号的终止点而结束。这样子，我们就得到了一行在time-scale plane上s=1的点。

接下来，s 只需增加一点值，然后再计算得到结果。需要注意的是，τ,s\tau,sτ,s都是连续变量，在计算机中，我们可以通过不断地增加一个极小的值进行模拟（实际上也是一个采样过程）。

在不断的取定sss，重复计算得到小波值以后，我们将得到CWT的结果。

下面我们将通过图片展示计算中的每一个过程：

Fig. 3_3

在上图中，sss的取值相同，而τ\tauτ值从2，40，90再到140。其中，信号是图一中的信号经过变化得到。

当信号谱分量与当前的sss取值相关？，并且小波函数与信号的乘积恰好在谱分量出现的位置 时，最终得到的结果较大。反之，计算值将较小。上图中s=1s=1s=1的情况下，谱分量最高点大概在t=100mst=100mst=100ms时出现。即，在t=100mst=100mst=100ms时小波变换的结果将较大，其他地方较小。

Fig. 3_4

Fig. 3_5

图3.4和3.5展现了针对s=5s=5s=5和s=20s=20s=20的情况。注意窗的大小是如何伴随着尺度变化而变化的！！！

在窗宽度增加的情况下，变换公式开始关注于信号低频特征。

现在，让我们来看看另外一个例子，看一下小波变换实际结果如何。考虑一个形如图3.6所示的非平稳信号。正如图片描述所展示的，该信号由30Hz，20Hz，10Hz和5Hz的信号拼接而成。

Fig. 3_6

图3.7则展示了连续小波变换（CWT）作用于该信号（图3.6）的结果。值得注意的是，这里的坐标轴是translation和scale，并非时间和频率。但是translation实际上也是和时间密切挂钩的一个量，我们可以将其视为小波基从时间t=0开始的计时。另外那个物理量，scale，则有一个完全不同的意义。记住，尺度参数是频率的倒数。换言之，关于小波变换在频域分辨率上的任何性质，我们只需倒数一下，就得到了小波变换在时域的性质。

Fig. 3_7

在图3.7中，越小的尺度对应着越高的频率，即频率会随着尺度增加而减小。因此，在图中scale接近零的地方，实际上对应着分析中的最高频率；而更高的尺度对应着更低的频率。那结合原先信号的性质，可以看到高频信号最先出现，然后再是低频信号。把图3.7转一下或许看的会更加清楚。

Fig. 3_8

回忆一下我们讲到过的分辨率性质：不同于STFT的常数分辨率，WT在高频区域有着高时间分辨率而低频率分辨，在低频有着低时辨，高频辨。从图3.8中也可以看出此条性质：在scale较低（高频）的地方，有着较高的尺度分辨率（比较窄，不确定性较低）；在低频区域，尺度不确定性增加。

|| 时域和频域分辨率

本章节中，我们将进一步探究小波变换中的时域分辨率和频域分辨率有关性质。Remember: 分辨率是我们从STFT转到研究WT的主要驱动力。

图3.9经常被用于解释时间分辨率和频率分辨率的关系。图中的每一个小方块对应着小波变换在时间-频率平面上的值。

Note that boxes have a certain non-zero area, which implies that the value of a particular point in the time-frequency plane cannot be known. All the points in the time-frequency plane that falls into a box is represented by one value of the WT.

Fig. 3_9

让我们拿个放大镜仔细看一看图3.9讲了啥。第一件事情，尽管方框的长度和宽度发生了变化，这个框框的面积是一个定值。这个是因为每一个框代表着时频平面的相同大小的一份，但是时间和频率性质不同。第二件事情，在低频区域，框框的高度更小（对应着更好的频率分辨率），而宽度更大了（对应着较差的时间分辨率，即更没办法确定峰值在什么时间出现）。

在进入总结结束这一章节之前，我们还可以再提一句，在STFT情况下，时间频率划分的框框是长什么样子。回忆一下，在STFT中，时间和频率分辨率在给定窗长的时候就已经定下来了。而一旦定下来，在整个分析过程中都是定值，无法改变。因此，在STFT情况下，时频平面是由相同的方块组成。

不管是框的维度，还是框的面积，在STFT和WT的分析下，都是由**Heisenberg’s inequality **确定。做一个总结，框的面积在给定窗函数（STFT）或者小波基（CWT）的时候是确定的（当然关于不同的函数，面积可能不一样）。但是，框的面积有一个下界14π\boldsymbol {\frac{1}{4}\pi}41π. 即，我们无法随我们想的那样尽可能减少框的面积，因为这是和海森堡不确定性原理是相违背的。在另一方面，给定小波基以后，框的维度（？可能是指位置）可以发生变化，但是得保证面积一定，这也是小波变换所作的主要工作。

| The Wavelet Theory: A Mathematical Approach

（有没有发现前面的分析过程中，数学公式很少出现；其实前面主要是一个概念认识和性质解读，接下来，MATHEMATICAAAAAAL~）

这一章节讲述了小波分析理论（wavelet analysis theory）中的主要思想，可以视为信号分析技术中概念的理解。