可微，可导，可积与连续的关系
一元函数
先从定义出发：
极限的定义
设函数 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数 AAA，对于给定的任意正数 ϵ\epsilonϵ，总存在正数 δ\deltaδ，使得当 xxx 满足不等式 0<∣x−x0∣<δ0<|x-x_0|<\delta0<∣x−x0∣<δ 时，对应的 f(x)f(x)f(x) 总满足不等式 ∣f(x)−A∣<ϵ|f(x)-A|<\epsilon∣f(x)−A∣<ϵ，那么常数 AAA 就叫做函数 f(x)f(x)f(x) 当 x→x0x\to x_0x→x0 时的极限，记作 limx→x0f(x)=A\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=Ax→x0limf(x)=A
连续的定义
设函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0 的某一邻域内有定义，如果 limx→x0f(x)=f(x0)\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)x→x0limf(x)=f(x0)，那么称函数 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 处连续
设函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0 的某一邻域内有定义。如果函数 f(x)f(x)f(x) 有下列三种情形之一：
- 在 x=x0x=x_0x=x0 有定义
- 虽在 x=x0x=x_0x=x0 处有定义，但 limx→x0f(x)\lim\limits_{x\to x_0}f(x)x→x0limf(x) 不存在
- 虽在 x=x0x=x_0x=x0 处有定义，且 limx→x0f(x)\lim\limits_{x\to x_0}f(x)x→x0limf(x) 存在，但 limx→x0f(x)≠f(x0)\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\ne f(x_0)x→x0limf(x)=f(x0)
则 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 处不连续，x0x_0x0 称为不连续点。
可微的定义
设函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在区间内有定义，x0x_0x0 及 x0+Δxx_0+\Delta xx0+Δx 在区间内，如果增量 Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)Δy=f(x0+Δx)−f(x0) 可表示为 Δy=AΔx+o(Δx)\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)Δy=AΔx+o(Δx) ，其中 AAA 是不依赖于 Δx\Delta xΔx 的常数，那么称函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0 处可微。AΔxA\Delta xAΔx 叫做函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0 处相应于 Δx\Delta xΔx 的微分，记作 dy\mathrm dydy
可积的定义
- 设 f(x)f(x)f(x) 在区间 [a,b][a,b][a,b] 上连续，则 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上可积。
- 设 f(x)f(x)f(x) 在区间 [a,b][a,b][a,b] 上有界，且只有有限个间断点，则 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上可积。
1. 可导与连续的关系：
可导必然连续\red{可导必然连续}可导必然连续
Proof:Proof:Proof:
设函数 f(x0)f(x_0)f(x0) 在点 x0x_0x0 可导。
∵limΔx→0ΔyΔx=f′(x0)\because\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^\prime(x_0)∵Δx→0limΔxΔy=f′(x0)
∴ΔyΔx=f′(x0)+α\therefore\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^\prime(x_0)+\alpha∴ΔxΔy=f′(x0)+α
∴α→0(Δx→0)\therefore\alpha\to0\ (\Delta x\to0)∴α→0 (Δx→0)
∵Δy=f′(x0)Δx+αΔx\because\Delta y=f^\prime(x_0)\Delta x+\alpha\Delta x∵Δy=f′(x0)Δx+αΔx
∴limΔx→0Δy=limΔx→0[f′(x0)Δx+αΔx]=0\therefore\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y=\lim\limits_{\Delta x\to0}[f^\prime(x_0)\Delta x+\alpha\Delta x]=0∴Δx→0limΔy=Δx→0lim[f′(x0)Δx+αΔx]=0
∵Δy=f(x)−f(x0)\because\Delta y=f(x)-f(x_0)∵Δy=f(x)−f(x0)
∴\therefore∴ 可导必连续
连续不一定可导\red{连续不一定可导}连续不一定可导
如图
2. 可微与可导的关系：
可微与可导是一样的\red{可微与可导是一样的}可微与可导是一样的
Proof:Proof:Proof:
设 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0 可微，则有：ΔyΔx=A+o(Δx)Δx\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}ΔxΔy=A+Δxo(Δx)
当 Δx→0\Delta x\to0Δx→0 时：limΔx→0ΔyΔx=A=f′(x0)\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=A=f^\prime(x_0)Δx→0limΔxΔy=A=f′(x0)
因此，可微必可导。
反之，如果 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0 可导，即：limΔx→0ΔyΔx=f′(x0)\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^\prime(x_0)Δx→0limΔxΔy=f′(x0) ∴ΔyΔx=f′(x0)+α\therefore\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^\prime(x_0)+\alpha∴ΔxΔy=f′(x0)+α
∴Δy=f′(x0)Δx+αΔx\therefore\Delta y=f^\prime(x_0)\Delta x+\alpha\Delta x∴Δy=f′(x0)Δx+αΔx
其中，a→0(Δx→0)a\to0\ (\Delta x\to0)a→0 (Δx→0)，且 f′(x0)f^\prime(x_0)f′(x0) 不依赖于 Δx\Delta xΔx，故可导必可微
3. 可积与连续的关系：
连续必然可积，可积不一定连续\red{连续必然可积，可积不一定连续}连续必然可积，可积不一定连续
见可积的定义
4. 可导与可积的关系：
可导必然可积，可积不一定可导\red{可导必然可积，可积不一定可导}可导必然可积，可积不一定可导
因为可导必定连续，而连续一定可积，所以可导必可积。
但是可积不一定连续，也就不一定可导，所以可积不一定可导。
多元函数
可导与可微
可微必然可导，可导不一定可微\red{可微必然可导，可导不一定可微}可微必然可导，可导不一定可微
对一元函数来说，可导指的是存在导数，可微指的是存在微分。但是对于多元函数来说，可导指的是存在偏导数，可微指的是存在全微分。
所以可微必可导，可导不一定可微。
可微与连续
可微必然连续，连续不一定可微\red{可微必然连续，连续不一定可微}可微必然连续，连续不一定可微
微分指的是全微分，也就是各个方向都可微，所以类似一元函数的性质。
可导与连续
可导不一定连续，连续不一定可导\red{可导不一定连续，连续不一定可导}可导不一定连续，连续不一定可导
因为在多元函数里可导指的是可以偏导，所以并不能推出在所有方向上函数连续。
偏导数连续与可微
偏导数连续必然可微，可微不一定偏导数连续\red{偏导数连续必然可微，可微不一定偏导数连续}偏导数连续必然可微，可微不一定偏导数连续
Proof:Proof:Proof:
设 z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y) 的全增量： Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)=[f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y+Δy)]+[f(x,y+Δy)−f(x,y)]\begin{aligned}\Delta z&=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)\\&=[f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)]+[f(x,y+\Delta y)-f(x,y)]\end{aligned}Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)=[f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y+Δy)]+[f(x,y+Δy)−f(x,y)]
根据拉格朗日中值定理：Δz=fx(x+αΔx,y+Δy)Δx+fy(x,y+βΔy)Δy(0<α,β<1)\Delta z=f_x(x+\alpha\Delta x,y+\Delta y)\Delta x+f_y(x,y+\beta\Delta y)\Delta y\ (0<\alpha,\beta<1)Δz=fx(x+αΔx,y+Δy)Δx+fy(x,y+βΔy)Δy (0<α,β<1)
由于偏导数连续：Δz=fx(x,y)Δx+ϵ1Δx+fy(x,y)Δy+ϵ2Δy\Delta z=f_x(x,y)\Delta x+\epsilon_1\Delta x+f_y(x,y)\Delta y+\epsilon_2\Delta yΔz=fx(x,y)Δx+ϵ1Δx+fy(x,y)Δy+ϵ2Δy
∴Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)\therefore\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)∴Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)
得到 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 可微。
可微不一定偏导数连续可以参考一元函数中的含有第二类间断点（震荡间断点）的导函数。
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