中国剩余定理/扩展中剩余定理

中国剩余定理

在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。具体解法分三步：

找出三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。
用15乘以2（2为最终结果除以7的余数），用21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，用70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加15∗2+21∗3+70∗2得到和233。
用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，即233%105=23。这个余数23就是符合条件的最小数。

类比古人我们假设n1除以3余2，n2除以5余3,n3除以7余2；
且n1+n2+n3满足

使n1+n2+n3的和满足除以3余2，n2和n3必须是3的倍数。
使n1+n2+n3的和满足除以5余3，n1和n3必须是5的倍数。
使n1+n2+n3的和满足除以7余2，n1和n2必须是7的倍数。
因此，为使n1+n2+n3的和作为“孙子问题”的一个最终解，需满足：
1.n1 除以3余2，且是5和7的公倍数。
2.n2除以5余3，且是3和7的公倍数。
3.n3 除以7余2，且是3和5的公倍数。
再使用逆元即可求解

有整数解（mi两两互质）

Mi为M/mi； M i − 1 Mi^{-1} Mi−1为Mi的逆元

crt 板子

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a[150],b[150],n,m=1,ans=0;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{ll d;if(b==0){x=1;y=0;return a;}else{d=exgcd(b,a%b,x,y);ll t=x;x=y;y=t-a/b*y;return d; }
}
ll x,y,mi,d;
int main()
{scanf("%lld",&n);for(ll i=1;i<=n;i++){scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]);m*=a[i];}for(ll i=1;i<=n;i++){mi=m/a[i];d=exgcd(mi,a[i],x,y);ans=((ans+mi*x*b[i])%m+m)%m;}printf("%lld\n",ans);return 0;
}

excrt

excrt Code 板子


#include<bits/stdc++.h>
#define ll __int128
using namespace std;
ll x,y,d,n;
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){if(!b) d=a,x=1,y=0;else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;
}
ll lcm(ll a,ll b){return a/gcd(a,b)*b;
}
ll a,b,A,B;
void merge(){exgcd(a,A,x,y);ll c=B-b;if(c%d) puts("-1"),exit(0);x=(x*c/d+A/d)%(A/d);ll mod=lcm(a,A);b=(a*x+b+mod)%mod;a=mod;
}
int main(){scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){long long u,v;scanf("%lld%lld",&u,&v);A=u,B=v;if(i>1) merge();else a=A,b=B;}printf("%lld\n",(long long)(b%a));
}

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