完全背包变式一本通 1293：买书

1293：买书

【题目描述】
小明手里有n元钱全部用来买书，书的价格为10元，20元，50元，100元。
问小明有多少种买书方案？（每种书可购买多本）

【输入】
一个整数 n，代表总共钱数。（0≤n≤1000）
【输出】
一个整数，代表选择方案种数。
【输入样例】
20
【输出样例】
2
【提示】
样例输入
样例输入2：
15
样例输入3：
0
样例输出
样例输出2：
0
样例输出3：
0

思路：

可以使用回溯搜索的方式（暴力），就是每一种书从0本到能够买的最大值都搜一下，但是算法复杂度很高。所以这里采用动态规划的方法。
可以看做这是一道完全背包问题。代价就是书的价格，价值就是方案数，此处的方案数需要将这个价格j能够买书此种书的最大数K，令k=0~K，依次将a[i-1][j-k*w[i]]加起来=a[i][j]。
呃，就是在考虑用j元买前i种书的时候可以分解成，( 买0本 i 种书，用j元考虑买前 i-1 种书的策略 )+(买1本 i 种书，用
j-w[i]元考虑买前 i-1 种书的策略)+……(直到考虑到 j 元买最大数量的 i 种书)。

二维数组中一个单元格的意义在于用 j 元考虑买前 i 种书的方案数。

注意：
1、特别要注意初始化，考虑一开始，对于第一个物体（第一种书）而言，此题不再是价格大于一本书的价格，二维表格中的数a[i][j]就有值了，而是一定能够正好买到这本书，所以应该j是w[1]的倍数，才有值，也就是一种方案。此外，从第二种书开始，如果j正好能够买到这本书，这也是要算一种方案的，所以应该将a[i-1][0]值为1。
2、最值思想体现在最多的方案数，所以利用二维数组表格将所有的情况都记录下来，每个值求的时候都要选择合适的加起来。因为涉及到要叠加，所以初始化为0( j!=0 )，且压缩只有一位数组记录是不可以的，用两个一维数组或者是采用整个二维数组也行。
（3、另：因为这是一种完全背包的求方案种数的问题，所以也可以直接将f[0][0] 初始化为1，其余初始化为0（恰好）然后从头前往后遍历就行了。emmm，联系后面几篇博客的讲解之后。）

公式：

图：例如有20元

代码：

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
using namespace std;
//完全背包问题 变式 还是利用那个二维数组
//书的价格就是代价 书价值是方案数
int main()
{int a[5][1001];//代价最大是1000，数组记录方案总数   要记录上一行的内容 因为 设计到要从0累加 int w[5]={0,10,20,50,100};memset(a,0,sizeof(a));//先将所有初始化为0int n;//n代表总钱数 cin>>n;int k;a[1][0]=1;//如果后面有新加入的书 j正好是w[i]的倍数，可以全用后面品种买下 这也算是一种方案 a[2][0]=1;a[3][0]=1;a[4][0]=1;for(int i=1;i<=4;i++)//4种书都走一遍  一种一种往里加 一种一种考虑 {if(i==1){for(int j=n;j>=w[i];j--)//看一下包的容量j能否装下，要能正好装下 且方案为1 {if(j%w[i]==0) a[i][j]=1;}} else{for(int j=1;j<=n;j++)//j<w[i]时不用变，跟考虑到上种书a[i-1]的数值方案一样  用二维的数组记录 {if(j<w[i])//买不下这种书a[i][j]=a[i-1][j];else{k=j/w[i];//看一下包的容量j能够装下几个物体i 依次将买这种书0本~k本的总方案都加起来，就是考虑要是可以买这种书的方案数 for(int p=0;p<=k;p++){a[i][j]+=a[i-1][j-p*w[i]];}} }} //检测 /*for(int j=0;j<=n;j++)cout<<a[i][j]<<' ';cout<<endl;*/}cout<<a[4][n];return 0;}

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