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版权声明
概念
多元函数的极限
多元函数的连续性
偏导数
- 定义
- 高阶偏导数
全微分
- 定义
- 全微分存在的必要条件
- 全微分存在的充分条件
多元函数的微分法
- 复合函数微分法
- 隐函数微分法
多元函数的极值与最值
- 无约束极值
- 条件极值和拉格朗日乘数法
- 最大值最小值

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本文大部分内容皆来自武忠祥老师考研教材和视频课。

概念

设DDD是平面上的一个点集，若对每个点P(x,y)∈DP(x,y)∈DP(x,y)∈D，变量zzz按照某一对应法则fff有一个确定的值与之对应，则称zzz为x,yx,yx,y的二元函数，记为z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)。其中点集DDD称为该函数的定义域，x,yx,yx,y称为自变量，zzz称为因变量，函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)的全体所构成的集合称为函数fff的值域，记为f(D)f(D)f(D)。通常情况下，二元函数在几何上表示一张空间曲面。

多元函数的极限

设函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)在区域DDD上有定义，点P0(x0,y0)∈DP_0(x_0,y_0)∈DP0(x0,y0)∈D或为DDD的边界点，如果∀ε>0\forall\varepsilon>0∀ε>0，存在δ>0\delta>0δ>0，当P(x,y)∈DP(x,y)∈DP(x,y)∈D，且0<(x−x0)2+(y−y0)2<δ0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta0<(x−x0)2+(y−y0)2<δ时，都有∣f(x)−A∣<ε|f(x)-A|<\varepsilon∣f(x)−A∣<ε成立，则称常数AAA为函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)当(x,y)→(x0,y0)(x,y)\to(x_0,y_0)(x,y)→(x0,y0)时的极限，记为lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=A\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A(x,y)→(x0,y0)limf(x,y)=A或lim⁡x→x0y→y0f(x,y)=A\lim\limits_{x\to x_0 y\to y_0}f(x,y)=Ax→x0y→y0limf(x,y)=A或lim⁡P→P0f(P)=A\lim\limits_{P\to P_0}f(P)=AP→P0limf(P)=A。一元函数的以下性质对多元函数仍然适用：

局部有界性
保号性
有理运算
极限与无穷小的关系
夹逼原理

多元函数的连续性

设函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)在区域DDD上有定义，点P0(x0,y0)∈DP_0(x_0,y_0)∈DP0(x0,y0)∈D，如果lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0)\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)(x,y)→(x0,y0)limf(x,y)=f(x0,y0)成立，则称函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)在点P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0)P0(x0,y0)连续，如果f(x,y)f(x,y)f(x,y)在区域DDD上的每个点(x,y)(x,y)(x,y)处都连续，则称函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)在区域DDD上连续。

性质一：多元函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数。
性质二：多元连续函数的复合函数也是连续函数。
性质三：多元初等函数在其定义区域内连续。
性质四（最大最小值定理）：有界闭区域DDD上的连续函数在区域DDD上必能取得最大值和最小值。
性质五（介值定理）：有界闭区域DDD上的连续函数在区域DDD上必能取得介于最大值和最小值之间的任何值。

偏导数

定义

设z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在点P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0)P0(x0,y0)的某一邻域内有定义，如果lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δx\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}Δx→0limΔxf(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)存在，则称这个极限值为函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在点P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0)P0(x0,y0)处对xxx的偏导数，记为∂z∂x∣x=x0y=x0\frac{\partial z}{\partial x}|_{x=x_0 y=x_0}∂x∂z∣x=x0y=x0或∂f∂x∣x=x0y=x0\frac{\partial f}{\partial x}|_{x=x_0 y=x_0}∂x∂f∣x=x0y=x0或fx′(x0,y0)f'_x(x_0,y_0)fx′(x0,y0)。类似的，如果lim⁡Δy→0f(x0,y0+Δy)−f(x0,y0)Δy\lim\limits_{\Delta y\to0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}Δy→0limΔyf(x0,y0+Δy)−f(x0,y0)存在，则称这个极限值为函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在点P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0)P0(x0,y0)处对yyy的偏导数，记为∂z∂y∣x=x0y=x0\frac{\partial z}{\partial y}|_{x=x_0 y=x_0}∂y∂z∣x=x0y=x0或∂f∂y∣x=x0y=x0\frac{\partial f}{\partial y}|_{x=x_0 y=x_0}∂y∂f∣x=x0y=x0或fy′(x0,y0)f'_y(x_0,y_0)fy′(x0,y0)。

高阶偏导数

如果f(x,y)f(x,y)f(x,y)在区域DDD内的偏导数∂z∂x,∂z∂y\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}∂x∂z,∂y∂z仍然存在偏导数，则称之为函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)的二阶偏导数，常记为∂∂x∂z∂x=∂2z∂x2\frac{\partial}{\partial x}{\frac{\partial z}{\partial x}}=\frac{\partial^2z}{\partial x^2}∂x∂∂x∂z=∂x2∂2z或fxx′′f''_{xx}fxx′′，∂∂y∂z∂x=∂2z∂x∂y\frac{\partial}{\partial y}{\frac{\partial z}{\partial x}}=\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y}∂y∂∂x∂z=∂x∂y∂2z或fxy′′f''_{xy}fxy′′，∂∂x∂z∂y=∂2z∂y∂x\frac{\partial}{\partial x}{\frac{\partial z}{\partial y}}=\frac{\partial^2z}{\partial y \partial x}∂x∂∂y∂z=∂y∂x∂2z或fyx′′f''_{yx}fyx′′，∂∂y∂z∂y=∂2z∂y2\frac{\partial}{\partial y}{\frac{\partial z}{\partial y}}=\frac{\partial^2z}{ \partial y^2}∂y∂∂y∂z=∂y2∂2z或fyy′′f''_{yy}fyy′′。常称∂2z∂x∂y,∂2z∂y∂x\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y},\frac{\partial^2z}{\partial y \partial x}∂x∂y∂2z,∂y∂x∂2z为混合偏导数。如果函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)的两个二阶混合偏导数∂2z∂x∂y,∂2z∂y∂x\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y},\frac{\partial^2z}{\partial y \partial x}∂x∂y∂2z,∂y∂x∂2z在区域DDD内连续，则在该区域内这两个混合偏导数一定相等。

全微分

定义

如果函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)在(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)处的全增量Δx=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)\Delta x=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)Δx=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)可表示为δx=AΔx+BΔy+o(ρ)\delta x=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)δx=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A,BA,BA,B与Δx,Δy\Delta x,\Delta yΔx,Δy无关，ρ=(Δx)2+(Δy)2\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}ρ=(Δx)2+(Δy)2，则称函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)处可微，而AΔx+BΔyA\Delta x+B\Delta yAΔx+BΔy称为函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)在点(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)处的全微分，记为dz=AΔx+BΔydz=A\Delta x+B\Delta ydz=AΔx+BΔy。如果f(x,y)f(x,y)f(x,y)在区域DDD内的每一点(x,y)(x,y)(x,y)都可微分，则称f(x,y)f(x,y)f(x,y)在DDD内可微。

全微分存在的必要条件

如果函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)在(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)处可微，则该函数在点(x,y)(x,y)(x,y)处的偏导数∂z∂x,∂z∂y\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}∂x∂z,∂y∂z必定存在，且dz=∂z∂xdx+∂z∂ydydz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dydz=∂x∂zdx+∂y∂zdy。用定义判断函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)在(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)处的可微性分为以下两步：

fx′(x0,y0)f'_x(x_0,y_0)fx′(x0,y0)和fy′(x0,y0)f'_y(x_0,y_0)fy′(x0,y0)是否存在。
lim⁡Δx→0Δy→0[f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)]−[fx′(x0,y0)Δx+fy′(x0,y0)Δy](Δx)2+(Δy)2\lim\limits_{\Delta x\to 0 \Delta y \to 0}\frac{[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]-[f'_x(x_0,y_0)\Delta x+f'_y(x_0,y_0)\Delta y]}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}Δx→0Δy→0lim(Δx)2+(Δy)2[f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)]−[fx′(x0,y0)Δx+fy′(x0,y0)Δy]是否等于零。

全微分存在的充分条件

如果函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)的偏导数∂z∂x,∂z∂y\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}∂x∂z,∂y∂z在点(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0) 处连续，则函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)在点(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0) 处可微。

多元函数的微分法

复合函数微分法

定义：设函数u=u(x,y),v=v(x,y)u=u(x,y),v=v(x,y)u=u(x,y),v=v(x,y)在点(x,y)(x,y)(x,y)处有对xxx及对yyy的偏导数，函数z=f(u,v)z=f(u,v)z=f(u,v)在对应点(u,v)(u,v)(u,v)处有连续偏导数，则复合函数z=f[u(x,y),v(x,y)]z=f[u(x,y),v(x,y)]z=f[u(x,y),v(x,y)]在点(x,y)处的两个偏导数存在，且有∂z∂x=∂z∂u∂u∂x+∂z∂v∂v∂x,∂z∂y=∂z∂u∂u∂y+∂z∂v∂v∂y\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}∂x∂z=∂u∂z∂x∂u+∂v∂z∂x∂v,∂y∂z=∂u∂z∂y∂u+∂v∂z∂y∂v
全微分形式的不变性：设函数z=f(u,v),u=u(x,y)z=f(u,v),u=u(x,y)z=f(u,v),u=u(x,y)，及v=v(x,y)v=v(x,y)v=v(x,y)都有连续的一阶偏导数，则复合函数z=f[u(x,y),v(x,y)]z=f[u(x,y),v(x,y)]z=f[u(x,y),v(x,y)]的全微分dx=∂z∂xdx+∂z∂ydy+∂z∂udu+∂z∂vdvdx=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy+\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dvdx=∂x∂zdx+∂y∂zdy+∂u∂zdu+∂v∂zdv即不论把函数zzz看做自变量x,yx,yx,y的函数，还是看作中间变量u,vu,vu,v的函数，函数zzz的全微分形式都是一样的。

隐函数微分法

由方程F(x,y)=0F(x,y)=0F(x,y)=0确定的隐函数y=y(x)y=y(x)y=y(x)：若函数F(x,y)F(x,y)F(x,y)在点P(x0,y0)P(x_0,y_0)P(x0,y0) 的某一邻域内有连续偏导数，且F(x0,y0)=0,Fy′(x0,y0)≠0F(x_0,y_0)=0,F'_y(x_0,y_0)≠0F(x0,y0)=0,Fy′(x0,y0)=0，则方程F(x,y)=0F(x,y)=0F(x,y)=0在点(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)的某邻域可唯一确定一个有连续导数的函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)，并有y′=−Fx′Fy′y'=-\frac{F'_x}{F'_y}y′=−Fy′Fx′
由方程F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0确定的隐函数z=z(x,y)z=z(x,y)z=z(x,y)：若函数F(x,y,z)F(x,y,z)F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)P(x_0,y_0,z_0)P(x0,y0,z0)的某一邻域内有连续偏导数，且F(x0,y0,z0)=0,Fy′(x0,y0,z0)≠0F(x_0,y_0,z_0)=0,F'_y(x_0,y_0,z_0)≠0F(x0,y0,z0)=0,Fy′(x0,y0,z0)=0，则方程F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0)(x0,y0,z0)的某邻域可唯一确定一个有连续导数的函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)，并有∂z∂x=−Fx′Fz′,∂z∂y=−Fy′Fz′\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F'_x}{F'_z},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F'_y}{F'_z}∂x∂z=−Fz′Fx′,∂y∂z=−Fz′Fy′

多元函数的极值与最值

无约束极值

设函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在点P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0)P0(x0,y0)的某邻域内有定义，若对该邻域内任意的点P(x,y)P(x,y)P(x,y)均有f(x,y)≤f(x0,y0)f(x,y)≤f(x_0,y_0)f(x,y)≤f(x0,y0)，则称(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)为f(x,y)f(x,y)f(x,y)的极大值点，称f(x0,y0)f(x_0,y_0)f(x0,y0)为f(x,y)f(x,y)f(x,y)的极大值。极大值和极小值点统称为极值点，极大值极小值统称为极值。

极值的必i要条件：设函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在点P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0)P0(x0,y0)存在偏导数，且(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)为f(x,y)f(x,y)f(x,y)的极值点，则fx′(x0,y0)=0,fy′(x0,y0)=0f'_x(x_0,y_0)=0,f'_y(x_0,y_0)=0fx′(x0,y0)=0,fy′(x0,y0)=0
极值的充分条件：设函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在点P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0)P0(x0,y0)的某邻域内有二阶连续偏导数，且fx′(x0,y0)=0,fy′(x0,y0)=0f'_x(x_0,y_0)=0,f'_y(x_0,y_0)=0fx′(x0,y0)=0,fy′(x0,y0)=0，记A=fxx′′(x0,y0),B=fxy′′(x0,y0),C=fyy′′(x0,y0)A=f''_{xx}(x_0,y_0),B=f''_{xy}(x_0,y_0),C=f''_{yy}(x_0,y_0)A=fxx′′(x0,y0),B=fxy′′(x0,y0),C=fyy′′(x0,y0)则有以下结论：
- 若AC−B2>0AC-B^2>0AC−B2>0，则(x0,y))(x_0,y_))(x0,y))为f(x,y)f(x,y)f(x,y)的极值点。
  - 若A<0A<0A<0，则(x),y))(x_),y_))(x),y))为f(x,y)f(x,y)f(x,y)的极大值点；
  - 若A>0A>0A>0，则(x),y))(x_),y_))(x),y))为f(x,y)f(x,y)f(x,y)的极小值点。
- 若AC−B2<0AC-B^2<0AC−B2<0，则(x0,y))(x_0,y_))(x0,y))不为f(x,y)f(x,y)f(x,y)的极值点。
- 若AC−B2=0AC-B^2=0AC−B2=0，则(x0,y))(x_0,y_))(x0,y))可能为f(x,y)f(x,y)f(x,y)的极值点，也可能不为f(x,y)f(x,y)f(x,y)的极值点（此时一般用定义判断）。

求具有二阶连续偏导数的二元函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)极值的一般步骤为：

求出f(x,y)f(x,y)f(x,y)的驻点P1...PkP_1...P_kP1...Pk。
利用极值的充分条件判定驻点PiP_iPi是否是驻点。

条件极值和拉格朗日乘数法

求z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0\varphi(x,y)=0φ(x,y)=0下的条件极值的一般方法为：

构造拉格朗日函数F(x,y,λ)=f(x,y)+λp(x,y)F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda p(x,y)F(x,y,λ)=f(x,y)+λp(x,y)
将F(x,y,λ)F(x,y,\lambda)F(x,y,λ)分别对x,y,zx,y,zx,y,z求偏导数，构造方程组{fx′(x,y)+λφx′(x,y)=0,fy′(x,y)+λφy′(x,y)=0,φ(x,y)=0\begin{cases}f'_x(x,y)+\lambda\varphi'_x(x,y)=0,\\f'_y(x,y)+\lambda\varphi'_y(x,y)=0,\\\varphi(x,y)=0\end{cases}⎩⎨⎧fx′(x,y)+λφx′(x,y)=0,fy′(x,y)+λφy′(x,y)=0,φ(x,y)=0。

解出x,y,λx,y,\lambdax,y,λ，则其中(x,y)(x,y)(x,y)就是函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)在条件φ(x,y)=0\varphi(x,y)=0φ(x,y)=0下的可能极值点。

最大值最小值

求连续函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)在有界闭区域DDD上的最大值：

第一步：求f(x,y)f(x,y)f(x,y)在点DDD内部可能的极值点。
第二步：求f(x,y)f(x,y)f(x,y)在点DDD的边界上的最大最小值。
第三步：比较。

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