雷达信号处理基础多普勒频移

《雷达信号处理基础》Mark A. Rechards 读书笔记
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假设雷达静止，被检测物体处于运动状态，由于多普勒效应，接收回波的频率F_r不同于发射频率。
考虑一个单基雷达，波形x(t)被任意时变距离R(t)处的目标反射回雷达接收机。回波信号表示为
y‾(t)=−k⋅[1−2h˙(t)]x‾[2h(t)−t]\overline{y} (t) = -k\cdot[1-2\dot h(t)]\overline x[2h(t) -t]y(t)=−k⋅[1−2h˙(t)]x[2h(t)−t]
其中k包含了所有雷达距离方程中与幅度有关的因子；h(t)h(t)h(t)表示时刻，雷达在h(t)时发射信号，h˙(t)\dot h(t)h˙(t)表示对时间的导数。
h(t)h(t)h(t)必须满足
h(t)+1cR[h(t)]=th(t) + \frac{1}{c}R[h(t)] = th(t)+c1R[h(t)]=t

准静止假设，雷达传播速度很快，假设从雷达到目标的传播时间内，物体的运动的距离变化可以忽略不记，R(h(t))≈R(t)R(h(t)) \approx R(t)R(h(t))≈R(t).
所以上式可以简化为
h(t)+1cR(t)=th(t) + \frac{1}{c}R(t) = th(t)+c1R(t)=t
将h(t)h(t)h(t)移到等式右边，代入y‾(t)\overline{y} (t)y(t)得
h(t)=t−1cR(t)h(t) = t-\frac{1}{c}R(t)h(t)=t−c1R(t)
y‾(t)=−k⋅[2R˙(t)c−1]x‾[t−2R(t)c]\overline{y} (t) = -k\cdot[\frac{2\dot R(t)}{c}-1]\overline x[t-\frac{2R(t)}{c}]y(t)=−k⋅[c2R˙(t)−1]x[t−c2R(t)]
R˙(t)\dot R(t)R˙(t)表示距离对时间的导数，即瞬时速度，其值远远小于光速c。因此，上式可以再简化为
y‾(t)=kx‾[t−2R(t)c]\overline{y} (t) = k\overline x[t-\frac{2R(t)}{c}]y(t)=kx[t−c2R(t)]

对于匀速直线运动的物体，R(t)=R0−vtR(t) = R_0 -vtR(t)=R0−vt, 令βv=v/c\beta_v = v/cβv=v/c, 那么
h(t)=11−βv(t−R0c)h(t) = \frac{1}{1-\beta_v}(t-\frac{R_0}{c}) h(t)=1−βv1(t−cR0)
[1−h˙(t)]=−1+βv1−βv≡−αv[1-\dot h(t)] = -\frac{1+\beta _v}{1-\beta_v} \equiv -\alpha _v [1−h˙(t)]=−1−βv1+βv≡−αv
于是有y‾(t)=kαv⋅x‾(αv(t−2R0(1+βv)c))\overline y (t) = k\alpha _v\cdot \overline x(\alpha _v(t-\frac{2R_0}{(1+\beta _v)c} ))y(t)=kαv⋅x(αv(t−(1+βv)c2R0)).
当发射波形为x‾(t)=A(t)exp[j(2πFtt+ϕ0)]\overline x(t) = A(t)exp[j(2\pi F_t t+ \phi_0)]x(t)=A(t)exp[j(2πFtt+ϕ0)]
则接收回波波形为 (将t⇒αv(t−2R0(1+βv)ct \Rightarrow \alpha _v(t-\frac{2R_0}{(1+\beta _v)c}t⇒αv(t−(1+βv)c2R0)
x‾(t)=A(αv(t−2R0(1+βv)c))exp[j(2πFt(αv(t−2R0(1+βv)c))+ϕ0)]\overline x(t) = A(\alpha _v(t-\frac{2R_0}{(1+\beta _v)c}))exp[j(2\pi F_t(\alpha _v(t-\frac{2R_0}{(1+\beta _v)c})) + \phi_0)]x(t)=A(αv(t−(1+βv)c2R0))exp[j(2πFt(αv(t−(1+βv)c2R0))+ϕ0)]
进一步变形
x‾(t)=A(αvt−2R0(1−βv)c)exp[j(2πFtαvt−4πR0(1−βv)λ+ϕ0)]\overline x(t) = A(\alpha _vt-\frac{2R_0}{(1-\beta _v)c})exp[j(2\pi F_t\alpha _vt-\frac{4\pi R_0}{(1-\beta _v)\lambda } + \phi_0)]x(t)=A(αvt−(1−βv)c2R0)exp[j(2πFtαvt−(1−βv)λ4πR0+ϕ0)]
可以得到接收到的回波信号频率为FtαvtF_t\alpha _vtFtαvt, 与发射时的频率FtF_tFt的差值，即变化量，将其定义为多普勒频移FDF_DFD.
FD=αvFt−Ft=(αv−1)Ft=2v1−βvλHzF_D = \alpha _vF_t - F_t = (\alpha _v-1) F_t = \frac{2v}{1-\beta _v\lambda} \ HzFD=αvFt−Ft=(αv−1)Ft=1−βvλ2v Hz
目标向雷达方向靠近，多普勒频移为正；远离雷达，多普勒频移为负。
还能从上述的式子中得到接收信号的相位减少量为
Δϕ=4πR0(1−βv)λ\Delta \phi = \frac{4\pi R_0}{(1-\beta _v)\lambda }Δϕ=(1−βv)λ4πR0

观察第一部分可以得到幅度部分时间t的系数时αv\alpha_vαv,说明时间宽度变化了αv\alpha_vαv倍。当物体朝着雷达方向靠近，αv>1\alpha_v>1αv>1,接收的脉冲时宽被压缩为发射脉冲时宽的1/αv1/\alpha_v1/αv;当物体远离雷达雷达时，接收到的脉冲宽度拉伸为发射脉冲时宽的1/αv1/\alpha_v1/αv倍。

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