裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》 P1~31

裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》

第1天:1~31

第1章一元函数极限

函数
1. 关于反函数
  1. 只要是有f゜f⁻¹()，结果都为括号里的值
  2. 复合函数的反函数公式
2. 奇函数、偶函数
  1. 整体的思想和反函数中第1条的思想。
  2. 例1.1.4任意对称区间上的任意函数总可以表示成一个偶函数与一个积函数的和，而且此表示方法唯一Important.
3. 周期函数
  1. 不是所有周期函数一定存在最小正周期。狄利克雷函数。
  2. 连续的周期函数必有最小正周期。
  3. 例1.1.5周期函数内部存在等差数列的性质。(函数是R上有界实函数)
4. 几个常用的不等式
  1. 例1.1.7平均值不等式
  2. 应用拉格朗日乘数法用来证明平均值不等式。体积范围是平均值的不等式的一个体现。
  3. 例1.1.8对数不等式-Important.
  4. 练习题 π分之2x≤sinx≤x。反常积分的应用。Important.
5. 求递推数列的通项(Pass)
6. 练习题1.1
  1. 1.1.2存在函数在[0,1]区间每点取有限值，在此区间的任何点的任意领域内无界。
  2. 1.1.7R上的奇函数与直线x=a作为对称轴，则函数必为周期函数，并可求它的周期。整体的思想、奇函数的性质。
  3. 1.1.9上确界三角不等式证明。
  4. 1.1.10如果数列是发散到正无穷，则数列必有下确界。Theory.
  5. 1.1.11要使得函数在一个有界的范围内，可以借用确界定义中的第2条。
  6. 1.1.12闭区间上增函数，左端点取值大于它本身，右端点取值小于它本身则存在闭区间中一个值使得这个值的函数值等于它本身。Important二分法，确切定义
用定义证明极限的存在性
1. 用定义证明极限
  1. ε-N方法
    1. 等价代换法
    2. 放大法
    3. 分步法(分段法)
    4. 例1.2.1基础。Important
    5. 例1.2.2做差、拆分Important
    6. 例1.2.3难
    7. 例1.2.4Pass
    8. 拟合法将极限值变复杂
    9. 例1.2.5思想很重要，用等差求和的方式表示极限值。
    10. 等价无穷小代换。
    11. 例1.2.6难
2. 用柯西准则证明极限
  1. 柯西准则的两种定义
  2. 例1.2.7柯西方法、提取公因式、放缩
  3. 例1.2.8注意先后顺序，先n后p。柯西准则定义的第2种。后面的值与前面的值有联系。所以要注意先后顺序。
3. 否定形式(发散的ε-N定义)
  1. 例1.2.9基础
  2. ε可以用k/1代替
  3. 任意改存在，存在改任意。
  4. 任意用书面语言表达的时候，注意先后顺序，在论断之首一般读为“对每一个给定的……”在后面出现时读“对所有的都成立”
  5. 如果对任意的n，柯西准则中的不等式大于非0的值，则可以断定数列发散。
  6. 例1.2.10基础。
4. 利用单调有界原理证明极限存在
  1. 例1.2.11欧拉常数(数列极限为欧拉常数的数列的极限存在性证明)Important.
  2. 例1.2.12 分母有理化Important
5. 数列与子列，函数与数列的极限关系
  1. 海涅定理的证明
  2. 例1.2.13奇数列偶数列极限值相同则数列极限为一个定值Important
  3. 例1.2.14 海涅定理的证明，数列有极限，而且数列间的差距越来越小则以数列为自变量的函数的极限值是唯一的，则函数极限值等于该值 Theory
  4. 例1.2.15任何数列都可以找到一个单调子列
6. 极限的运算性质
  1. 数列极限的加减乘除等于数列加减乘除的极限。
  2. 指数运算也成立。
  3. 例1.2.16无穷多个无穷小量的乘积不一定是无穷小量——数列一列一列的乘积都为1，但是每一行极限都是无穷小量。
7. 练习1.2
  1. 1.2.1基础。
  2. 1.2.2基础。
  3. 1.2.3分段法。
  4. 1.2.4柯西准则
  5. 1.2.5特殊——构思巧妙。
  6. 1.2.6若数列每一项都大于0，而且数列中项之间存在大小关系，且存在子列收敛于0，可以推数列收敛于0
  7. 1.2.7柯西准则否定形式。
  8. 1.2.8一个数列的任意子列均存在收敛子列，则数列不一定为收敛数列相当于二阶子列
  9. 1.2.9单调递增数列，若子列收敛，则数列收敛。
  10. 1.2.10通过人的N的取值找到满足的子列
  11. 1.2.11通过三个极限推出三个不等式(绝对值小于ε)，用3ε法合并，得到等式左边极限的极限为a。
  12. 1.2.12极限的四则运算。

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