深入理解机械系统的模态与振动

一、模态及振动问题的提出
二、单自由度振动
三、二自由度振动
四、模态是什么？
五、问题探讨

一、模态及振动问题的提出

大家好，我今天的培训是“机械系统的模态和振动”，说是培训，其实是谈一谈自己多年对NVH学习的心得体会，谈起NVH，可能很多人都觉得它很“玄”，即使是在NVH领域工作多年的人。我以前也觉得它很“玄”，碰到有关NVH的问题时总是很慌张，觉得NVH简直就是个“魔鬼”。经过多年的学习研究，特别是在理解了机械系统的模态和振动后，才发现NVH原来是一个“天使”，很多NVH问题都可以用科学或者说物理数学进行完美的解释，如果大家对NVH有兴趣，在学习研究的过程中，就会感受到物理之美或者说数学之美！
万事开头难，让我们从一个最简单的现象说起，这是一个直线行驶的小车。

要研究小车的运动状态，我们可以建立xy坐标系，x表示东西方向，y表示南北方向，因为小车在东偏北方向行驶，很显然，沿小车行驶的方向建立坐标系x’是更好的选择。

现在增加点难度，假如小车沿着曲线行驶，很显然，我们只需沿着与垂直的方向建立y’轴即可。

小车在x’上的位移大，在y’上的位移小，通常仅采用x’坐标系，对精度不会
有大的影响。

总结：
对机械系统进行研究，尽管可以任意选取坐标系，但是找到合适
的坐标系可以简化系统模型，方便我们看清问题、理解问题、
解决问题；
当我们研究的对象在坐标系的一些坐标轴上看起来很大，其他的坐
标轴上看起来很小，这样的坐标系我们可以称为主坐标系，对我们研
究的问题影响较小的坐标轴对应的系统自由度，我们可以删除，进行
自由度缩减。

主坐标系和系统的模态有什么关系呢，我随后会讲到。

二、单自由度振动

下面开始讲振动，同样，让我们从一个最简单的现象说起，先来看看一个自由振动的小球的动画。

我们可以看到小球的振幅越来越小，除此之外，用眼睛难有更多的发现，怎么办呢？测它，这是“测”得的小球的位移图。

除了看到小球振幅逐渐减小外，我们还能发现小球的振动频率不变，是1Hz，另外，它的振幅是按指数减小的。

现在再增加点难度，给小球加点正弦激励力，看看小球会怎么样？

我们可以看到，小球开始振动好像没什么规律，但是最后逐渐稳定，除此之外，用眼睛难有更多的发现，怎么办呢？测它，这是“测”得的小球的位移图。

我们可以发现，小球最后的振动幅值不变，频率不变，是2Hz

为什么小球会如此振动呢？要探索该现象发生的机理，利用我们所学的力学知识即可。

先进行小球的受力分析，建立力平衡方程，最后变换成微分方程，微分方程即为小球振动系统的数学模型，这是一维微分方程，解起来并不困难。

求解的过程我就不展开了，让我们重点关注结果的形式和一些重要的参数，wn是系统的无阻尼固有频率，本例是1Hz，wd是系统的阻尼固有频率,w是激励力的频率，本例是2Hz,zeta是阻尼比。结果由三部分组成，第一部分是小球的自由振动，它由小球的初始位移和初始速度决定，其振幅按指数衰减，振动频率为系统的阻尼固有频率；第二部分仍然是小球的自由振动，它由激励引起，通常称它为伴随运动，其振幅按指数衰减，振动频率为系统的阻尼固有频率；第三部分是稳态强迫振动，振幅不变，频率为激励的频率，其振动幅值有激励和系统的参数共同决定。
有时候我们关注自由振动多一些，比如车辆启停、加减速工况等、有时候我们关注稳态强迫振动多一些，这需要进行瞬态仿真，比如发动怠速工况，车辆平稳行驶的工况等，这需要进行稳态仿真。
一自由度振动系统是所有NVH问题的基础，对它理解的越充分越好。

三、二自由度振动

现在开始讲二自由度振动的一个例子，

对二自由度的小车进行研究，可以取重心的平动自由度和转动
自由度，这里我取前后轮处的平动自由度。
让我们先看看这个小车自由振动的几个样子，
振动状态一：

小车前后轮同向振动，节点在前轮之前，姿态不变，频率不变
此振动为一阶模态振动，振动频率为模态频率，前后轮的振幅构成
模态向量
振动状态二：

小车前后轮反向振动，节点在前后轮之间，姿态不变，频率不变
此振动为二阶模态振动，振动频率为模态频率，前后轮的振幅构成
模态向量
振动状态三：

小车的振动在前两种振动模态间过渡、切换，没有固定的节点
振动频率有2个

现在让我们对小车的振动机理进行分析，进行数学建模。

和一自由度系统类似，根据力学理论，我们可以建立力平衡方程组，对多维度的问题，用矩阵进行描述非常方便，M表示质量矩阵，K表示刚度矩阵，q表示位移矢量，q’’表示加速度矢量。
对多维度的系统方程，我们可以利用解耦法进行求解，

特征向量构成特征坐标系的坐标轴，特征向量即为模态向量，
特征坐标系即为模态坐标系

对我们本例的小车，经过特征坐标变换后，二自由度的微分方程组就变成了2个一自由度的微分方程，从而就可以用前面讲过的算法进行求解，得到的位移就是模态位移，或者称为模态参与因子、或者模态坐标，然后再变换到物理坐标系中即可。

下面通过实例求解来解释前面看过的3个动画中出现的振动现象。

先看一下小车的模态：

再看小车的振动状态一：

只要小车的初始位移在1阶模态坐标轴上，小车就在1阶模态坐标轴和时间轴确定的平面上做正弦运动。

再看小车的振动状态二：

只要小车的初始位移在2阶模态坐标轴上，小车就在2阶模态坐标轴和时间轴确定的平面上做正弦运动。

再看小车的振动状态三：

只要小车的初始位移不在1、2阶模态坐标轴上，小车就在2种振动模态间却换。
小车的自由振动是如此的有规律，只要我们知道模态和小车的初始位移，就可以直接画出它的运动轨迹，根本就不需要做计算。

四、模态是什么？

五、问题探讨

注意，这里的“主模态”指主坐标系。

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