高等数学张宇18讲 第十二讲 常微分方程
目录
- 例题十二
- 例12.8 求ydx=(1+xlny)xdy(y>0)y\mathrm{d}x=(1+x\ln y)x\mathrm{d}y(y>0)ydx=(1+xlny)xdy(y>0)的通解。
- 新版例题十五
- 例15.9
- 例15.14
- 例15.19
- 例15.20
- 写在最后
例题十二
例12.8 求ydx=(1+xlny)xdy(y>0)y\mathrm{d}x=(1+x\ln y)x\mathrm{d}y(y>0)ydx=(1+xlny)xdy(y>0)的通解。
解 方程变形为dxdy−1yx=lnyyx2\cfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}-\cfrac{1}{y}x=\cfrac{\ln y}{y}x^2dydx−y1x=ylnyx2，这是以yyy为自变量，xxx为未知函数的伯努利方程。
两边同时除以x2x^2x2，并令z=x−1z=x^{-1}z=x−1，有dzdy=−1x2dxdy\cfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}=-\cfrac{1}{x^2}\cfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}dydz=−x21dydx，于是方程化为dzdy+1yz=−lnyy\cfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}+\cfrac{1}{y}z=-\cfrac{\ln y}{y}dydz+y1z=−ylny；应用一阶线性微分方程的通解公式，得
z=1x=e−lny[∫(−lnyyelny)dy+C]=1y[y(1−lny)+C].z=\cfrac{1}{x}=e^{-\ln y}\left[\displaystyle\int\left(-\cfrac{\ln y}{y}e^{\ln y}\right)\mathrm{d}y+C\right]=\cfrac{1}{y}[y(1-\ln y)+C]. z=x1=e−lny[∫(−ylnyelny)dy+C]=y1[y(1−lny)+C].
故通解为1x=1−lny+Cy(y>0,C为任意常数)\cfrac{1}{x}=1-\ln y+\cfrac{C}{y}(y>0,C\text{为任意常数})x1=1−lny+yC(y>0,C为任意常数)。（这道题主要利用了伯努利方程求解）
新版例题十五
例15.9
例15.14
例15.19
例15.20
写在最后
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