【ccpc网络赛】Tree and Permutation【1009】【树上+组合数学】

题意：

给定一棵无向树，求出树上所有顶点的全排列。

如1 3 2 4 5 与 1 3 4 5 2，定义每种全排列的值为1->3+3->2+2->4+4->5的最短路径之和。

求出所有全排列的值。

思路：

对于这样一个问题，考虑到数据范围，如果设计一种针对每种全排列而进行的算法显然是不现实的，必须得从整张图进行考虑。

可以发现在整张图中，每条边被遍历的次数都是固定的。因此可以从这个角度入手进行求解。

可以发现对于每一条边而言，该边被遍历的次数为

（左端点的的点数）*（右端点的点数）* 2 *（n-1）* (n-2)!

(n-1)为在n个顶点的全排列中两个相邻点最多出现的次数，2为两个相邻点可以交换位置，（n-2）！为确定两个点之后，其他的点有（n-2）！中排列方式，由此对每条边进行计算即可。

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define rep(i,a,b) for(ll i = a;i <= b;i++)
using namespace std;
const int N = 2*1e5+1000;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9+7;ll n;
struct Edge{int to,next;ll w;
}e[N];
int head[N],tot;
ll size[N];
ll ans;void init()
{rep(i,1,n) head[i] = 0;tot = 1;ans = 0;
}
ll fac[N];
void add(int x,int y,int z)
{e[++tot].to = y; e[tot].next = head[x]; head[x] = tot; e[tot].w = (ll)z;
}void dfs(int u,int fa) //fa:父节点
{size[u] = 1;   //mxson:重儿子的大小for(int i = head[u]; i ; i = e[i].next){int v = e[i].to;if(v == fa) continue;  //控制搜索路径不会搜到父节点dfs(v,u);size[u] = size[u] + size[v];ans = ans+(e[i].w*(n-size[v]))%mod*size[v]%mod;//    printf("ans1 : %lld\n",ans);ans %= mod;//    printf("size:%d,u:%d\n",size[u],u);}
//    printf("ans:%lld\n",ans);
}int main()
{fac[0] = 1;fac[1] = 1;for(ll i = 2;i <= 100000;i ++){fac[i] = fac[i-1]*i%mod;}while(~scanf("%lld",&n)){init();rep(i,1,n-1){int a,b,c;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);add(a,b,c); add(b,a,c);}dfs(1,0);ans = (ans*((ll)2*(ll)n-(ll)2)%mod);//    printf("ans2 : %lld\n",ans);if(n >= 2)ans = ((ans % mod)* fac[n-2]) %mod;printf("%lld\n",ans);}return 0;
}

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思路：

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