【组合数学】知识点汇总

文章目录

一.排列
二.组合
三.重要定理及思想

一.排列

1.概念：从n个不同的元素中，取出m个排成一列，称为n个元素中取出m个元素的一个排列（permutation）

2.排列数：从n个不同元素中取出m个元素的排列方案数。符号记为AnmA^m_nAnm。

计算公式：Anm=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅⋅⋅(n−m+1)A^m_n=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot(n-m+1)Anm=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅⋅⋅(n−m+1)

理解：从n个元素中取出m个进行排列，第一个元素有n种选择，第二个元素有n-1种选择……最后一个元素有n-m+1种选择

特殊地：当m>n时，排列数为0，当m=n时，又称全排列，排列数为n！

排列数的另一个计算公式：Anm=n!(n−m)!A^m_n=\frac{n!}{(n-m)!}Anm=(n−m)!n!

理解：
①可以直接由前面的式子数学推导而来

②先将n个元素进行全排列得到n！n！n！，然后取前m个元素的排列方案，每种方案都会重复（n−m）！（n-m）！（n−m）！次（后n-m个元素的全排列），所以要除以(n−m)!(n-m)!(n−m)!

3.圆排列

从n个元素中取m个元素圆排列的个数为Anmm=n!m⋅(n−m)!\frac{A_n^m}{m}=\frac{n!}{m\cdot(n-m)!}mAnm=m⋅(n−m)!n!

相当于每种排列方案都被重复计算了m次

比如m=3，则{1 2 3}，{3 1 2} ，{2 3 1}都是同一种圆排列，但在算排列数时被计算了3次

4.多重集的排列

多重集：允许元素重复的特殊集合

如果每个元素可以取多次甚至无限次，从中取m个排列的方案数我们可以用生成函数（母函数）来计算

指数型母函数解多重集排列问题

5.错排问题

问题：十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？
这个问题推广一下，就是错排问题，是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。

记n个元素的错排方案数为D(n)

随机取第k个元素，我们可以将其放置到除了k位置以外的其它任意位置，即n-1种选择

假设我们选择将第k个元素放置到m位置，则第m个元素位置被占了，要放到其它位置上，我们面临两种选择：

①将m元素放置到k位置上，即将m和k互换了位置，这两个元素错排完成，那现在场上还有n-2个元素没有排，即D（n-2）

②不把m元素放置到k位置上，那现在的情况就是m不能放在k位置上，我们不考虑已经放好的k元素，然后将k位置当作m的位置（因为m不能选k位置），是不是就是n-1个元素的错排呢？即D（n-1）。

综上，得递推公式D（n）=(n-1) [D(n-1)+D(n-2)]

该式经过一系列推导可得：

D(n)=n!⋅[(−1)00!+(−1)11!+(−1)22!+…+(−1)n−1(n−1)!+(−1)nn!]D(n) = n! \cdot [\frac{(-1)^0}{0!}+\frac{(-1)^1}{1!}+\frac{(-1)^2}{2!} + … + \frac{(-1)^{n-1}}{{(n-1)!}} +\frac{ (-1)^n}{n!}]D(n)=n!⋅[0!(−1)0+1!(−1)1+2!(−1)2+…+(n−1)!(−1)n−1+n!(−1)n]

（也可以用容斥原理的思想直接推导，详情见百度百科）

由泰勒展开ex=1+x+x22!+x33!+⋅⋅⋅+xkk!+⋅⋅⋅e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdot\cdot\cdot+\frac{x^k}{k!}+\cdot\cdot\cdotex=1+x+2!x2+3!x3+⋅⋅⋅+k!xk+⋅⋅⋅

得D(n)=[n!⋅e−1+0.5)][n!\cdot e^{-1}+0.5)][n!⋅e−1+0.5)] 用[]表示向下取整，这么写是为了避免泰勒展开余项（余项值小于1/2）的0影响

二.组合

1 概念: 从n个不同的元素中，取出m个作为一组（不考虑顺序），称为从n个元素中取出m个的一个组合

2.组合数: 从n个不同元素中取出m个元素的组合方案数，符号记为CnmC_n^mCnm

计算公式：Cnm=Anmm!=n!(n−m)!⋅m!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅⋅⋅(n−m+1)1⋅2⋅3⋅⋅⋅mC_n^m=\frac{A_n^m}{m!}=\frac{n!}{(n-m)! \cdot m!} = \frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot(n-m+1)}{1\cdot2\cdot3\cdot\cdot\cdot m}Cnm=m!Anm=(n−m)!⋅m!n!=1⋅2⋅3⋅⋅⋅mn⋅(n−1)⋅(n−2)⋅⋅⋅(n−m+1)

理解：从n个元素中取出m个元素的排列数为AnmA_n^mAnm，取出的m个元素排列方案数为m！，而组合是不考虑元素的排列顺序的，所以相当于每种组合方案被算了m！次。

3.多重集的组合

普通型母函数解多重集组合问题详解

4.常用公式
①Cnm=Cnn−mC_n^m=C_n^{n-m}Cnm=Cnn−m （当m较大时计算Cnn−mC_n^{n-m}Cnn−m）

②Cnm=Cn−1m+Cn−1m−1C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}Cnm=Cn−1m+Cn−1m−1(杨辉三角形，一数等于其肩上两数之和）

③Cnm=n−m+1mCnm−1C_n^m=\frac{n-m+1}{m}C_n^{m-1}Cnm=mn−m+1Cnm−1(分子分母各抽出一项）
作用：递推求组合数

5.求组合数方法
n，m很小时，直接求都行。
n，m很大时，一般会对p取模（因为组合数太大了），且题目中p一般为素数（合数作取模运算容易被找出规律）

对p取模时：

1）n,m很小时可以用杨辉三角形递推求（即上式②）

2）预处理模p后的阶乘，然后用乘法逆元求亦可

3）n，m很大很大时，p很小可以用卢卡斯定理求（见卢卡斯定理）

如果m不大的话，用上式③也可以

三.重要定理及思想

1.计数基本原理

计数最基本的两个原理：加法原理和乘法原理

①加法原理：

做一件事情有n个办法，每个办法有pip_ipi个方案实现，则共有p1+p2+p3+⋅⋅⋅+pnp_1+p_2+p_3+\cdot\cdot\cdot +p_np1+p2+p3+⋅⋅⋅+pn种方案

应用加法原理的关键是分类，每个类别间应该不重不漏，若有重复，可以使用容斥原理。

②容斥原理：

在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。

例：班里有15个人喜欢数学，20个人喜欢语文，7个人既喜欢数学又喜欢语文，则班级的总人数应为：15+20-7=28.

若将喜欢数学的人记作集合A，喜欢语文的人记作集合B，总班级总人数∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣

当计数的事物有A、B、C三类时，则三类事物的总个数应该为∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A∩B∣−∣B∩C∣−∣A∩C∣+∣A∩B∩C∣|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|A∩C|+|A∩B∩C|∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A∩B∣−∣B∩C∣−∣A∩C∣+∣A∩B∩C∣

以此类推：当计数的事物有N类时，含奇数个集合的交集取正、含偶数个交集的集合取负，求和即得总数

③乘法原理：

做一件事情有n个步骤，每个步骤有pip_ipi个方案实现，则共有p1⋅p2⋅p3⋅⋅⋅pnp_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot\cdot\cdot p_np1⋅p2⋅p3⋅⋅⋅pn种方案

2.鸽巢原理： 又称抽屉原理，即：

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果。

应用：是组合数学中很重要的思想，但一般体现在思考的过程中。可以参考这两题：鸽巢原理

3.隔板法

n本相同的书放在k个不同的书架上
（n个相同的小球放在k个不同的盒子里）

①插入k-1个隔板

②将这k-1个隔板和书视为一样的元素，进行全排列，得到方案数(n+k−1)!(n+k-1)!(n+k−1)!

③因为隔板，书都是相同的，所以方案数要除以(k−1)!(k-1)!(k−1)!和n!n!n!

④即算得方案数(n+k−1)!(k−1)!⋅n!=Cn+k−1n=Cn+k−1k−1\frac{(n+k-1)!}{(k-1)!\cdot n!}=C_{n+k-1}^n=C_{n+k-1}^{k-1}(k−1)!⋅n!(n+k−1)!=Cn+k−1n=Cn+k−1k−1

更多相关知识可以参考这篇文章：隔板法

4.卢卡斯定理

详情见卢卡斯定理，模板加证明都有