HDU4279(2012年天津网络赛---数论分析题)
题目:Number
题意: 给出一个f(x),表示不大于x的正整数里,不整除x且跟x有大于1的公约数的数的个数。定义F(x),为不大于x的正整数里,满足f(x)的值为奇数的数的个数。题目就是求这个F(x)。
网上很多方法就是打表找规律,已经谈不上是算法了。
这里我们可以来分析:
不整除x且跟x有大于1的公约数的数的个数 f(x)=x-约数个数-互质数个数+1 。
把x素因子分解,易知x的约数个数为(质数的幂+1)的累乘。所以若要使约数为奇数,充要条件是(质数的幂+1)都为奇
数,即质数的幂都为偶数。所以此时x必然是一个平方数。
综上,x为平方数,其约数个数为奇数;x为非平方数,其约数个数为偶数。
互质数个数,我们有欧拉函数。
这里用到一个结论:欧拉函数在n>2时,值都为偶数。
所以,
当x>2时:
若x为平方数,f(x)=x-奇-偶+1,要使f(x)为奇数,则x必为奇数;
若x为非平方数,f(x)=x-偶-偶+1,要使f(x)为奇数,则x必为偶数。
当x=1或2时,f(x)=0.
综上,F(x)的值为[3,x]中,奇数平方数+偶数非平方数的个数和,即 偶数个数-偶数^2的个数+奇数^2的个数。
而偶数个数为 x/2-1,-1是为了把2减掉。偶数^2个数为 sqrt(x)/2,奇数^2个数为 ( sqrt(x)-(sqrt(x)/2) )-1,这里-1是为了把1减掉。
所以,化简后,F(x)=x/2-1+(sqrt(x)%2? 0:-1).
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>using namespace std;
typedef long long LL;LL Solve(LL n)
{LL ans=0;if(n<6) return 0;ans+=n/2-2;if((LL)sqrt(1.0*n)&1) ans++;return ans;
}int main()
{LL a,b,t;cin>>t;while(t--){cin>>a>>b;cout<<Solve(b)-Solve(a-1)<<endl;}return 0;
}
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