离散数学第一章部分课后习题

（声明：课后习题答案均为作者本人所写，如有错误请指出！）

1.证明在9座工厂之间，不可能每座工厂都只能与其他3座工厂有业务联系。

思路：（反证法）若每座工厂都只能与其他3座工厂有业务联系，则度数和为3*9=27,27是奇数，但根据定理，度数和应为2m(偶数),因此矛盾

2.简单图G中，如果m>(n-1)(n-2)/2,证明G中不存在孤立节点

思路：（反证法）假设存在一个孤立节点，则G中边数最多的情况为：对于其余n-1个点，任意两点之间有边，即边数最多为Kn-1完全图的边数，m<=(n-1)(n-2)/2

3.完全图的每条边任给一个方向，称为有向完全图，证明在有向完全图中

$\sum_{v}^{} (d^+(v))^2=\sum_{v}^{} (d^-(v))^2$

思路：移相，转为证明

$\sum_{v}^{}[d^+(v))-d^-(v)][d^+(v))+d^-(v)]=0$

因为是完全图，对任意v，入度和出度之和为n-1,可提取公因式，转为证明

$(n-1)\sum_{v}^{}(d^+(v)-d^-(v))=0$

即证

$(n-1)[ \sum_{v}^{}d^+(v)-\sum_{v}d^-(v)]=0$

又已知定理，有向图中正度之和和负度之和相等，故原式得证

5.6个人围成圆形就坐，每个人恰好只与相邻者不认识，是否可以重新入座，使每个人都与邻座认识？

思路：可以。假设原排序为1,2,3,4,5,6,可以将排序更改为1,3,6,4,2,5

6.证明9个人中若非至少有4个人互相认识，则至少有3个人互相不认识。

引理：6个人中，要么有三个人相互认识，要么有三个人相互不认识

引理证明：设六个人为V1 V2 V3 V4 V5 V6，两个人认识则把两点之间的边标为红色，不认识则标为蓝色。转为证明：一定存在一个同色三角形。则根据抽屉原理，对于以V1为端点的5条边，一定有至少3条边同色，不妨设(V1,V2),(V1,V3),(V1,V4)为红色。分情况讨论：case1：V2 V3 V4之间存在红色边，则这条边的两个顶点和V1构成红色三角形的三个顶点；case2：V2 V3 V4之间不存在红色边，则V2 V3 V4构成蓝色三角形的三个顶点。故引理得证。

思路：（分情况讨论）

case1：如果存在一个人v1，v1认识的人少于5个。则v1不认识的人至少4个，不妨记为v2,v3,v4,v5。由题意“非至少有4个人互相认识”，v2 v3 v4 v5中至少有两人不认识，这两人与v1组成的三个人互相不认识。

case2：如果所有人认识的人数都>=5个。不可能所有人都只认识5个人，否则（5*9=45,不满足度数和为偶），因此至少有一个人认识6个人，不妨记为v1。根据引理，这六个人中，要么有三个人相互认识，要么有三个人相互不认识。若存在三个人相互认识，则这三个人与v1组成的四个人相互认识，与题意“非至少有4个人互相认识”矛盾，因此，这六个人中一定存在三个人相互不认识。

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