模糊 K 均值聚类算法

假设特征矢量集，X={x1,x2,...,xT}，T 是语音帧数，每个矢量 xj 都是 p 维的，代表的是第 j 帧的特征参数。模糊 k-means 聚类算法的核心思想在于最小化式(下式)所示的目标函数：

其中，µij 表示矢量 xj 被分到第 i 类的概率，µ=[µij]是一个 K×T 的矩阵，满足下面的一些性质：

同时，m(m≥2)是控制模糊度的一个加权指数，dij2 表示的是 xj 与 ci 之间的距离，定义式如下所示：

其中，ci 指的是第 i 个聚类中心，Fi 表示的是第 i 个聚类的模糊协方差矩阵，通过令 Jm 相对 µ和 c 的梯度为 0 求得，如下式：

只有在满足下面两式的情况下，才能求得目标函数(即本文第一个公式)的最小化。

上面两个式子的求解过程如下：

(1) 设定聚类数目 K，加权指数 m(m≥2)，终止条件 ε(ε>0)以及迭代次数 l。

(2) 初始化隶属度矩阵 µ(0)。

(3) 计算聚类中心 ci (l)。

(4) 更隶属度矩阵 µij (l)，直到满足||µ (l) -µ (l-1)||<ε 或是达到最大迭代次数。

本文中的最终特征矢量的分类就是用到了最大隶属度值，也就是说，对于任意的一个特征矢量 xj(j=1,2,....,T)，如果 µij=max{µ1j,µ2j,...,µKj}成立，那么 xj 就属于第 i 类。

本文中总的高斯混合分量 M 是 64 个，每一类里高斯混合分量的个数 Mi 是由该类中训练特征矢量的帧数 Ti 占总的训练特征矢量帧数 Tall 的比例来决定的，

其中，

n 是聚类数。

给定 I 和 Ii 分别表示总的训练迭代次数和每个聚类的训练迭代次数。因此，GMM 模型参数的估计所需的计算时间 P 如下式所示：

聚类之后，上式可表示为

假定每个聚类中的高斯混合分量个数是相同的，则

将上面两个公式带入式(聚类之后下面的公式)可得：

由该式可知，随着聚类的每一类中的训练矢量的减少，以及每一类的训练矢量主要集中在聚类中心周围，训练速度可以得到一定程度的提高。

上图显示的基于不同聚类中心的模糊 K-means 聚类的频谱失真，聚类中心数目分别是 10，20，30 和 40，从图中可以很明显的看出，随着聚类中心数目的增加，频谱失真也随之变大，因此，本文采用的聚类中心数目为 10 个。

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