什么是双线性映射（Bilinear Mapping ）?

2024-06-07 12:34:39

在数论中，一个双线性映射是由两个向量空间上的元素，生成第三个向量空间上一个元素之函数，并且该函数对每个参数都是线性的。最简单的例子：
xy→z,x,y∈Rxy \to z, x,y \in R xy→z,x,y∈R

1. 双线性映射

设 V,WV,WV,W 和 XXX 是在同一个基础域F上的三个向量空间。双线性映射是函数：
B:V×W→XB:V \times W\to X B:V×W→X

使得对于任何 WWW 中 www，映射
v↦B(v,w)v\mapsto B(v,w ) v↦B(v,w )

是从 VVV 到 XXX 的线性映射，并且对于任何 VVV 中的 vvv，映射
w↦B(v,w)w\mapsto B(v,w ) w↦B(v,w )

是从 WWW 到 XXX 的线性映射。

换句话说，如果保持双线性映射的第一个参数固定，并留下第二个参数可变，结果的是线性算子，如果保持第二个参数固定也是类似的。

2. 对称双线性映射

如果 V=WV=WV=W 并且有 B(v,w)=B(w,v)B(v,w )=B(w,v )B(v,w )=B(w,v ) 对于所有 VVV 中的 v,wv,wv,w，则我们称 BBB 是对称的。

3. 双线性形式

当这里的 XXX 是 FFF 的时候，我们称之为双线性形式，它特别有用(参见例子标量积、内积和二次形式)。

4. 多线性

如果使用在交换环R上的模替代向量空间，定义不需要任何改变。还可容易的推广到 nnn 元函数，这里正确的术语是“多线性”。

对非交换基础环 RRR 和右模 MRM_RMR与左模RN_RNRN的情况，我们可以定义双线性映射 B:M×N→TB:M\times N\to TB:M×N→T，这里的 TTT 是阿贝尔环，使得对于任何 NNN 中的 nnn，m↦B(m,n)m \mapsto B(m,n)m↦B(m,n) 是群同态，而对于任何 MMM 中的 mmm, n↦B(m,n)n \mapsto B(m,n)n↦B(m,n) 是群同态，并还满足
B(mt,n)=B(m,tn)B(mt,n ) =B(m,tn ) B(mt,n )=B(m,tn )

对于所有的 MMM 中的 mmm，NNN中 nnn 和 RRR 中的 ttt。

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