基于三维冲击波的变分理论--交通运输工程（一）
基于三维冲击波的变分理论--交通运输工程（一）
- 冲击波理论
- 基于三维冲击波的变分理论
写在最前：很幸运的是毕业后还在从事研究生期间相关的科研工作，不见得非常喜欢这个专业，但在这个专业近10年的学习时间里，还是想看到自己做的东西能落地并且付诸到工程实践中。最近在做车辆到达-驶离曲线相关的研究，发现很多教科书级的原理忘记了，走了很多弯路，因此想要写下研究生期间所用到的一系列方法论：基于三维冲击波的变分理论、copula理论、卡尔曼滤波、最短路算法、车辆到达-驶离曲线、LSTM NN等。无论以后的职业生涯是选择 浩瀚宇宙还是数据分析相关，都希望留下一些东西，仅此纪念。
读研期间，搞了至少两个国内交通领域鲜少有人研究的方法论，苦是真的苦：英文文献读到头秃，给世界各地的学们者发邮件询问问题（很多联系邮箱被遗弃了，一封封被退回来，再找相关最新期刊的联系方式，这个过程太酸爽了），坐冷板凳的焦虑感等。但文章被国际高水平期刊收录的那一刻或者专利被授权的那一刻真的很有成就感，那些晚上回寝室的路上连只汪都没有的日子好像都值得了。
本文会适当参杂英文注解，因为该理论最初是国外的学术大牛们提出的，“冲击波理论”也是翻译过来的。我们用到的很多方法论都是翻译过来的，如果能读最初的原汁原味的著作会很有帮助。
冲击波理论
冲击波理论（the kinematic wave theory，也称LWR理论）最初是由Lighthill, M. J和Whitham, G. B. 以及Richards, P. I. 于上世纪50年代提出的，他们将交通流类比为由车辆组成的可压缩连续流体介质，用车流的平均速度（velocity）、平均密度（density）和流率（flow）等宏观变量来描述交通流的演化过程。LWR理论的核心是时空中任意一点的流量q和密度k之间的函数关系。假设研究区域没有驶入驶出，守恒定律满足下述关系：
冲击波理论可以描述道路交通流在时空上的变化特征，是估计车辆运行轨迹的基础。Newell, G. F.在整合驶入-驶出累积曲线和冲击波理论的基础上，通过在时空图二维坐标系中增加路网节点的累积车辆数量（第三维），提出了三维冲击波理论。假设在封闭的一维研究区域中，车辆遵守先进先出（First In First Out，简称FIFO）的原则，那么在距离dx的空间范围内，通过的累计车辆数为
其中，N(x,t) 是指在点(x,t)处的累计车辆数；在分段线性基本图（即三角形基本图）的假设下 dN只取两个值：交通波向前传递时为0，向后传播时为（kj * dx） ，kj 是指阻塞密度。
基于三维冲击波的变分理论
在三维冲击波理论的基础上，Daganzo, C. F.于2005年提出了一种基于变分理论（Variational Theory，简称VT）和比较通行能力约束的路网交通流计算模型。该计算模型在初始点 (x0,t0)给定一定的边界条件，即可估计时空图中任意一点 (x,t)处的累积车辆数。本文将该模型定义为基于三维冲击波的变分理论（the variational theory of kinematic waves为原文）。
在应用层面，基于三维交通波的变分理论从本质上讲反映了具有凹密度函数关系的冲击波形式的交通流问题可以通过在离散化时空网格上使用最短路径法加以解决。所以基于三维交通波的变分理论的应用基础是离散化时空图，如下图（初始变分网络）所示。
在三角形基本图的假设下，离散化时空图的参数认为已知。其中，前向弧波速为 u（自由流速度），后向弧波速为 w（消散波速度），时间步长 tstep 作为输入变量通常假设为1s以方便计算，空间步长sstep可通过如下公式获得。
其中， 和 qmax和kj分别表示最大流量和阻塞密度，通常可以从实际数据中获得。
总结：基于三维冲击波的变分理论有一个强假设，即流量-密度关系服从三角形基本图。该理论在实际的应用中国是通过离散化时空图实现的。
文献参考
[1] Lighthill M J, Whitham G B. On Kinematic Waves. I. Flood Movement in Long Rivers[J]. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 1955, 229(1178):281-316.
[2] Richards P I. Shock Waves on the Highway[M]. INFORMS, 1956.
[3] Newell G F. A simplified theory of kinematic waves in highway traffic, part I: General theory[J]. Transportation Research Part B: Methodological, 1993, 27(4): 281-287.
[4] Newell G F. A simplified theory of kinematic waves in highway traffic, part Ⅱ: General theory[J]. Transportation Research Part B: Methodological, 1993, 27(4): 289-303.
[5] Newell G F. A simplified theory of kinematic waves in highway traffic, part Ⅲ: General theory[J]. Transportation Research Part B: Methodological, 1993, 27(4): 305-313.
[6] Daganzo C F. A variational formulation of kinematic waves: basic theory and complex boundary conditions[J]. Transportation Research Part B: Methodological, 2005, 39(2): 187-196.
[7] Daganzo C F. A variational formulation of kinematic waves: Solution methods[J]. Transportation Research Part B: Methodological, 2005, 39(10): 934-950.
感谢Daganzo C F将基于三维交通波的变分理论变为可解的，才有了研究生期间的研究。
～～先粗略的写一个版本，后续再优化公式和排版。
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