【数据结构笔记】二叉搜索树及其相关算法

简介

二叉查找树（Binary Search Tree），（又：二叉搜索树，二叉排序树）它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；它的左、右子树也分别为二叉排序树。
如下图所示：
图片来自百度百科
二叉排序树的查找过程和次优二叉树类似，通常采取二叉链表作为二叉排序树的存储结构。

中序遍历二叉排序树可得到一个关键字的有序序列

一个无序序列可以通过构造一棵二叉排序树变成一个有序序列，构造树的过程即为对无序序列进行排序的过程。每次插入的新的结点都是二叉排序树上新的叶子结点，在进行插入操作时，不必移动其它结点，只需改动某个结点的指针，由空变为非空即可。搜索,插入,删除的复杂度等于树高，O(log(n)).

查找算法

在二叉排序树b中查找x的过程为：
若b是空树，则搜索失败，否则：
若x等于b的根结点的数据域之值，则查找成功；否则：
若x小于b的根结点的数据域之值，则搜索左子树；否则：
查找右子树。

插入算法

向一个二叉排序树b中插入一个结点s的算法，过程为：
若b是空树，则将s所指结点作为根结点插入，否则：
若s->data等于b的根结点的数据域之值，则返回，否则：
若s->data小于b的根结点的数据域之值，则把s所指结点插入到左子树中，否则：
把s所指结点插入到右子树中。

Leetcode 230. 二叉搜索树中第K小的元素

给定一个二叉搜索树，编写一个函数kthSmallest来查找其中第k个最小的元素。
注意：
你可以假设k总是有效的，1≤ k ≤二叉搜索树元素个数。
进阶：
如果经常修改二叉搜索树（插入/删除操作）并且你需要频繁地找到第k小值呢？你将如何优化kthSmallest函数？

法1：递归

按顺序中序遍历每个节点，并实时的减小K的值，直到K的值为0，则当前节点的值即为第K小的元素。

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode(object):
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = Noneclass Solution(object):def kthSmallest(self, root, k):""":type root: TreeNode:type k: int:rtype: int"""if root:x = self.kthSmallest(root.left,k)if  k == 0:return xelse:k = k -1if k == 0:return root.valelse:return self.kthSmallest(root.right,k)

法2：迭代查找

使用栈，先进先出

例子，二分查找树：

# -*- coding:utf-8 -*-
# class TreeNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = None
class Solution:# 返回对应节点TreeNodedef KthNode(self, pRoot, k):# write code hereif k == 0 or pRoot is None:return Noneq = [(pRoot, False)]while q:cur, flag = q.pop()if cur:if flag:k -= 1if k==0:return curelse:q.append((cur.right, False))q.append((cur, True))q.append((cur.left, False))

中序遍历操作过程，q中的元素变化：

5F
7F 5T 3F
7F 5T 4F 3T 2F
7F 5T 4F 3T N 2T N
7F 5T 4F 3T N 2T
7F 5T 4F 3T N ———————> 2
7F 5T 4F 3T
7F 5T 4F ———————> 2,3
7F 5T N 4T N
7F 5T N 4T
7F 5T N ————————>2,3,4
7F 5T
7F ————————>2,3,4,5
8F 7T 6F
8F 7T N 6T N
8F 7T N 6T
8F 7T N ———–>2,3,4,5,6
8F 7T
8F —————>2,3,4,5,6,7
N 8T N
N 8T
N —————->2,3,4,5,6,7,8

二叉树遍历非递归模板

中序遍历（左右根）

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode(object):
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = Noneclass Solution(object):def inorderTraversal(self, root):""":type root: TreeNode:rtype: List[int]"""result, stack = [], [(root, False)]while stack:cur, flag = stack.pop()if cur:if flag:result.append(cur.val)else:stack.append((cur.right, False))stack.append((cur, True))stack.append((cur.left, False))return result

前序遍历（根左右）

stack.append((cur.right, False))
stack.append((cur.left, False))
stack.append((cur, True))

后序遍历（左右根）

stack.append((cur, True))
stack.append((cur.right, False))
stack.append((cur.left, False))

二叉树遍历递归模板

中序遍历

# recursively
def inorderTraversal1(self, root):res = []self.helper(root, res)return resdef helper(self, root, res):if root:self.helper(root.left, res)res.append(root.val)self.helper(root.right, res)

前序遍历

# recursively
def inorderTraversal1(self, root):res = []self.helper(root, res)return resdef helper(self, root, res):if root:res.append(root.val)self.helper(root.left, res)self.helper(root.right, res)

后序遍历

# recursively
def inorderTraversal1(self, root):res = []self.helper(root, res)return resdef helper(self, root, res):if root:self.helper(root.left, res)self.helper(root.right, res)res.append(root.val)