python实现最大公共子序列

介绍

子序列和子串的意思不一样，如下图所示，子序列不要求连续，只需要在给定序列中出现过，并且相对顺序一致。而子串需要连续。

图片来自动态规划最长公共子序列过程图解

最长公共子序列(LCS)：

同时出现在两个字符串中的最长子序列

实现

1143. 最长公共子序列

思想和求解两个字符串之间的编辑距离差不多，使用动态规划的方法，递推公式如下：

dp[i,j]dp[i, j]dp[i,j]表示字符串x[:i]x[:i]x[:i]与字符串y[:j]y[:j]y[:j]之间的最长公共子序列长度

dp[i,j]={0若 i=0或 j=0dp[i−1,j−1]+1若 i,j≥0,xi−1=yj−1max⁡{dp[i,j−1],dp[i−1,j]}若 i,j≥0,xi−1≠yj−1dp[i, j]= \begin{cases}0 & \text { 若 } i=0 \text { 或 } j=0 \\ dp[i-1, j-1]+1 & \text { 若 } i, j\geq0, x_{i-1}=y_{j-1} \\ \max \{dp[i, j-1], dp[i-1, j]\} & \text { 若 } i, j\geq0, x_{i-1} \neq y_{j-1}\end{cases} dp[i,j]=⎩⎪⎨⎪⎧0dp[i−1,j−1]+1max{dp[i,j−1],dp[i−1,j]} 若 i=0 或 j=0 若 i,j≥0,xi−1=yj−1 若 i,j≥0,xi−1=yj−1

代码如下：

class Solution:def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:m = len(text1)n = len(text2)res = ""# 记录最长的公共子序列if m * n == 0:return 0dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]# dp[i][j]表示text1[:i]与text[:j]的最长公共子序列长度for i in range(1, m + 1):for j in range(1, n + 1):if text1[i - 1] == text2[j - 1]:dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1res += text1[i - 1]else:dp[i][j] = max([dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]])print(res)return dp[m][n]

时间复杂度：O(mn)
空间复杂度：O(mn)

测试：

text1 = "abcde"
text2 = "ace"
obj = Solution()
res = obj.longestCommonSubsequence(text1, text2)
print(res)
# 3，最长公共子序列是ace
# ace 可以在计算dp的过程中保存得到

上面的代码中，dp只需要用到上一行i-1的结果，因此可以进行空间优化，只保存上一行以及当前行的结果。

class Solution:def longestCommonSubsequence_1(self, text1: str, text2: str) -> int:m = len(text1)n = len(text2)res = ""# 记录最长的公共子序列if m * n == 0:return 0dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(2)]# dp[i][j]表示text1[:i]与text[:j]的最长公共子序列长度pre = 0cur = 1# pre存储上一行的结果，cur存储当前行结构# pre和cur在内存中的位置一会是第0行，一会是第1行for i in range(1, m + 1):for j in range(1, n + 1):if text1[i - 1] == text2[j - 1]:dp[cur][j] = dp[pre][j - 1] + 1res += text1[i - 1]else:dp[cur][j] = max([dp[pre][j], dp[cur][j - 1]])tmp = prepre = curcur = tmpprint(res)return dp[pre][n]

时间复杂度：O(mn)
空间复杂度：O(2n)

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