3.5!——阶乘的插值（python）

本文的全部理论基础见于神奇的Gamma函数（scipy）。

k!⇒x!,x≥0

k!\Rightarrow x!,\quad x \geq 0
阶乘插值，在更大的范围里说这其实是一个 数列插值的问题，通俗地说，就是把数列的通项公式定义从 整数集合延拓到实数集合。

n⇒R

n\Rightarrow \mathbb{R}
例如数列 1,4,9,16,…1, 4, 9, 16, \ldots 可用通项公式 n2n^2自然表达，即便 nn为实数的时候，这个通项公式也有良好定义。直观地说，也就是可以找到一条平滑的曲线通过 y=x2y=x^2 通过所有的整数点（ (n,n2)(n, n^2)）这些点，从而可以把定义在整数集上的公式延拓到整个实数集合。可是对于阶乘序列 1,2,6,24,120,720,…,1, 2,6,24,120,720,\ldots,我们是否像计算 2.522.5^2一样计算 3.5!3.5!的呢。
答案是显然地：

k!=∫∞0xke−xdx

k!=\int_0^\infty x^ke^{-x}dx

k∈Rk\in \mathbb{R} 对等式右边有意义，自然可通过等式右边计算正实数的阶乘，下面我们就用python（scipy）简单仿真实践插值：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import integratedef fact_int(x, k):return x**k*np.exp(-x)if __name__ == '__main__':x = np.arange(0, 4, .01)plt.plot(x, [integrate.quad(fact_int, 0, np.inf, args=k)[0] for k in x], 'g', lw=2)k = np.arange(0, 5)plt.plot(k, [integrate.quad(fact_int, 0, np.inf, args=k)[0] for k in k], 'r--', marker='o', markersize=10)plt.show()

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