从张量积（tensor product）到多重线性代数（multilinear algebra）

记张量积的数学记号为 ⊗\otimes。

1. linear

假设 V,WV,W 为线性空间（vector spaces），f:V→Wf: V\rightarrow W是线性（linear）的，如果满足：

f(v1+v2)=f(v1)+f(v2)f(αv)=αf(v)

f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)\\ f(\alpha v)=\alpha f(v)

ff 表示的是两个线性空间的映射，从线性空间 VV 到线性空间 WW；

2. bilinear

有三个线性空间，U,V,WU, V, W，f:U×V→Wf:U\times V\rightarrow W是双线性的（bilinear），如果：

f(u1+u2,v)=f(u1,v)+f(u2,v)f(u,v1+v2)=f(u,v1)+f(u,v2)f(αu,v)=αf(u,v)=f(u,αv)

f(u_1+u_2,v)=f(u_1, v)+f(u_2,v)\\ f(u, v_1+v_2)=f(u, v_1)+f(u, v_2)\\ f(\alpha u, v)=\alpha f(u, v)=f(u, \alpha v )

当 vv 固定，f(u,v)f(u, v) 在 uu 中是线性的；
- f(u,v)=fv(u)=fv(u1+u2)=fv(u1)+fv(u2)f(u, v)=f_v(u)=f_v(u_1+u_2)=f_v(u_1)+f_v(u_2)
- f(αu,v)=fv(αu)=αfv(u)f(\alpha u, v)=f_v(\alpha u)=\alpha f_v(u)
当 uu 固定时，f(u,v)f(u, v) 在 vv 是线性的；

3. U⊗VU\otimes V

{bilinearU×V→W}≃Hom(U⊗V,W)

\left\{\text{bilinear}\;U\times V\rightarrow W\right\}\simeq\text{Hom}(U\otimes V,W)

U⊗VU\otimes V 仍然是线性空间（是一个新的线性空间），才能使双线性映射（bilinear maps） U×V→WU\times V\rightarrow W 是 U⊗V→WU\otimes V\rightarrow W上的线性映射（linear map）。
- 既然 U⊗VU\otimes V 是一个新的线性空间，不仿记为 XX
- 此时 U⊗V→WU\otimes V \rightarrow W 可被重新描述为 X→WX\rightarrow W

4. 张量的相关计算

U⊗VU\otimes V 该线性空间中的元素：{u⊗v|u∈U,v∈V}\left\{u\otimes v|u\in U,v\in V\right\}

因为 U⊗VU\otimes V 仍然构成线性空间（f(u,v):U⊗Vf(u, v): U\otimes V），所以有：

f(u1+u2,v)=f(u1,v)+f(u2,v)⇒(u1+u2)⊗v=u1⊗v+u2⊗vf(u,v1+v2)=f(u,v1)+f(u,v2)⇒u⊗(v1+v2)=u⊗v1+u⊗v2f(αu,v)=αf(u,v)=f(u,αv)⇒(αu)⊗v=α(u⊗v)=u⊗(αv)

f(u_1+u_2,v)=f(u_1,v)+f(u_2,v)⇒ (u_1+u_2)\otimes v = u_1\otimes v+u_2\otimes v\\ f(u, v_1+v_2)=f(u, v_1)+f(u,v_2) ⇒ u\otimes (v_1+v_2)=u\otimes v_1+u\otimes v_2\\ f(\alpha u, v)=\alpha f(u, v)=f(u, \alpha v)⇒ (\alpha u)\otimes v=\alpha(u\otimes v)=u\otimes (\alpha v)

5. 一个实例

定义二维线性空间：R2=⟨e1,e2⟩\mathbb R^2=\left，则 R2⊗R2\mathbb R^2\otimes \mathbb R^2的标准基由下述构成：

e1⊗e1,e1⊗e2,e2⊗e1,e2⊗e2

e_1\otimes e_1,e_1\otimes e_2,e_2\otimes e_1,e_2\otimes e_2