- 动规讲解基础讲解五——最长公共子序列问题
(1)子序列: 一个序列A = a1,a2,……an,中任意删除若干项,剩余的序列叫做A的一个子序列。也可以认为是从序列A按原顺序保留任意若干项得到的序列。
例如:
对于一个长度为n的序列,它一共有2^n 个子序列,有(2^n – 1)个非空子序列。
请注意:子序列不是子集,它和原始序列的元素顺序是相关的。
(2)公共子序列 : 顾名思义,如果序列C既是序列A的子序列,同时也是序列B的子序列,则称它为序列A和序列B的公共子序列。
例如:
序列1,8,7是它们的一个公共子序列。
请注意: 空序列是任何两个序列的公共子序列。
仍然用序列1,3,5,4,2,6,8,7和序列1,4,8,6,7,5
它们的最长公共子序列是:
1,4,8,7
1,4,6,7
请注意: 最长公共子序列不唯一。
请大家用集合的观点来理解这些概念,子序列、公共子序列以及最长公共子序列都不唯一,所以我们通常说一个最长公共子序列,但显然最长公共子序列的长度是一定的。
因为最长公共子序列不唯一,让我们把问题简化,如何求出两个序列的最长公共子序列长度呢?
你首先能想到的恐怕是暴力枚举?那我们先来看看:序列A有 2^n 个子序列,序列B有 2^m 个子序列,如果任意两个子序列一一比较,比较的子序列高达 2^(n+m) 对,这还没有算具体比较的复杂度。
或许你说,只有长度相同的子序列才会真正进行比较。那么忽略空序列,我们来看看:对于A长度为1的子序列有C(n,1)个,长度为2的子序列有C(n,2)个,……长度为n的子序列有C(n,n)个。对于B也可以做类似分析,即使只对序列A和序列B长度相同的子序列做比较,那么总的比较次数高达:
C(n,1)*C(m,1)*1 + C(n,2) * C(m,2) * 2+ …+C(n,p) * C(m,p)*p
吓着了吧?怎么办?试试使用动态规划算法!
让我们来看看如何求LCS(x, y)。我们令x表示子序列考虑最后一项
(1) Ax = By
则要么L(x,y)为空序列(别忘了这个),要么L(x,y)的最后一项是Aa=Bb ≠ t, 且显然有a < x, b < y。无论是哪种情况我们都可以把t接到这个L(x,y)后面,从而得到一个更长的公共子序列。矛盾!
如果我们从序列Ax中删掉最后一项ax得到Ax-1,从序列By中也删掉最后一项by得到By-1,(多说一句角标为0时,认为子序列是空序列),则我们从L(x,y)也删掉最后一项t得到的序列是L(x – 1, y - 1)。为什么呢?和上面的道理相同,如果得到的序列不是L(x - 1, y - 1),则它一定比L(x - 1, y - 1)短(注意L(,)是个集合!),那么它后面接上元素t得到的子序列L(x,y)也比L(x - 1, y - 1)接上元素t得到的子序列短,这与L(x, y)是最长公共子序列矛盾。
仍然设t = L(Ax, By), 或者L(Ax, By)是空序列(这时t是未定义值不等于任何值)。
则t ≠ Ax和t ≠ By至少有一个成立,因为t不能同时等于两个不同的值嘛!
(2.1) 如果t ≠ Ax,则有L(x, y)= L(x - 1, y),因为根本没Ax的事嘛。
LCS(x,y) = LCS(x – 1, y)
(2.2) 如果t ≠ By,l类似L(x, y)= L(x , y - 1)
可是,我们事先并不知道t,由定义,我们取最大的一个,因此这种情况下,有LCS(x,y) = max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1))。
看看目前我们已经得到了什么结论:
LCS(x,y) =
(1) LCS(x - 1,y - 1) + 1 如果Ax = By
(2) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1)) 如果Ax ≠ By
这时一个显然的递推式,光有递推可不行,初值是什么呢?
显然,一个空序列和任何序列的最长公共子序列都是空序列!所以我们有:
(1) LCS(x - 1,y - 1) + 1 如果Ax = By
(2) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1)) 如果Ax ≠ By
(3) 0 如果x = 0或者y = 0
到此我们求出了计算最长公共子序列长度的递推公式。我们实际上计算了一个(n + 1)行(m + 1)列的表格(行是0..n,列是0..m),也就这个二维度数组LCS(,)。
输入序列A, B长度分别为n,m,计算二维表 LCS(int,int):
for x = 0 to n dofor y = 0 to m doif (x == 0 || y == 0) then LCS(x, y) = 0else if (Ax == By) thenLCS(x, y) = LCS(x - 1,y - 1) + 1else LCS(x, y) = ) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1))endifendfor endfor
现在问题来了,我们如何得到一个最长公共子序列而仅仅不是简单的长度呢?其实我们离真正的答案只有一步之遥!
(1) LCS(x – 1, y – 1) + 1如果Ax = By
这对应L(x,y) = L(x,- 1 y- 1)末尾接上Ax
(2.1) LCS(x – 1, y) 如果Ax ≠ By且LCS(x – 1, y) ≥LCS(x, y – 1)
这对应L(x,y)= L(x – 1, y)
(2.2) LCS(x, y – 1) 如果Ax ≠ By且LCS(x – 1, y) <LCS(x, y – 1)
这对应L(x,y) = L(x, y – 1)
(3) 0 如果 x =0或者y = 0
这对应L(x,y)=空序列
注意(2.1)和(2.2) ,当LCS(x – 1, y) = LCS(x, y – 1)时,其实走哪个分支都一样,虽然长度时一样的,但是可能对应不同的子序列,所以最长公共子序列并不唯一。
神奇吧?又一个类似的递推公式。可见我们在计算长度LCS(x,y)的时候只要多记录一些信息,就可以利用这些信息恢复出一个最长公共子序列来。就好比我们在迷宫里走路,走到每个位置的时候记录下我们时从哪个方向来的,就可以从终点回到起点一样。
另外,说一下复杂度?
时间复杂度时O(n * m),空间也是O(n * m)
今天对LCS的讲解就到这里,聪明的你是不是已经蠢蠢欲动要AC问题啦? 心动不如行动,赶快吧。
#include<iostream> #include<cstring> using namespace std; int f[1010][1010]; string a,b,z; int main() {while(cin>>a>>b){memset(f,0,sizeof(f));int l1=a.size();int l2=b.size();a=' '+a;b=' '+b; for(int i=1;i<=l1;i++)for(int j=1;j<=l2;j++)if(a[i]==b[j])f[i][j]=f[i-1][j-1]+1;elsef[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);int i=l1,j=l2;while(i&&j){if(a[i]==b[j]){z=a[i]+z;i--;j--;}else{if(f[i-1][j]>=f[i][j-1]) i--;else j--;}}cout<<z;} }
如果对你有所帮助,别忘了加好评哦;么么哒!!下次见!88
转载于:https://www.cnblogs.com/cangT-Tlan/p/6219003.html
- 动规讲解基础讲解五——最长公共子序列问题相关推荐
- 最长公共子序列 (LCS) 详解+例题模板(全)
欢迎访问https://blog.csdn.net/lxt_Lucia-- 宇宙第一小仙女\(^o^)/-萌量爆表求带飞=≡Σ((( つ^o^)つ~ dalao们点个关注呗- ------------ ...
- 大白话讲解LCS(最长公共子序列)
今天看了七月在线算法课.再一次认识了LCS,现在整理记录: LCS(Longest Common Subsequence)最长公共子序列. 一个序列S任意删除若干个字符得到新序列T,那么T叫做S的子序 ...
- 算法设计与分析——动态规划(五):最长公共子序列
分类目录:<算法设计与分析>总目录 相关文章: · 动态规划(一):基础知识 · 动态规划(二):钢条切割 · 动态规划(三):矩阵链乘法 · 动态规划(四):动态规划详解 · 动态规划( ...
- 【编程题 动态规划】最长公共子序列(详细注释 易懂)
题目描述: 题目链接:最长公共子序列__牛客网 来源:牛客网 我们有两个字符串m和n,如果它们的子串a和b内容相同,则称a和b是m和n的公共子序列.子串中的字符不一定在原字符串中连续. 例如字符串&q ...
- 程序员编程艺术第十一章:最长公共子序列(LCS)问题
程序员编程艺术第十一章:最长公共子序列(LCS)问题 0.前言 程序员编程艺术系列重新开始创作了(前十章,请参考程序员编程艺术第一~十章集锦与总结).回顾之前的前十章,有些代码是值得商榷的,因当时的代 ...
- 算法设计 - LCS 最长公共子序列最长公共子串 LIS 最长递增子序列
出处 http://segmentfault.com/blog/exploring/ 本章讲解: 1. LCS(最长公共子序列)O(n^2)的时间复杂度,O(n^2)的空间复杂度: 2. 与之类似但不 ...
- 助你深刻理解——最长公共子串、最长公共子序列(应该是全网数一数二的比较全面的总结了)
往事不堪回首,那些年处理过的字符串[的一些骚操作] 最长公共子串篇(20191120) 理论知识: 图形理解: 矩阵初始化: 矩阵数值演变: 类似算法: 代码实现(C++): 代码设计满足的要求: 测 ...
- 动态规划篇——最长公共子序列(c++)
引言:最长公共子序列属于动态规划的基础篇,由字符串的最长公共最序列可以引出很多的问题. 最长子序列详细讲解以及练习题目 需要详细讲解教程的可以观看上面链接的文章,以下是自己做的简单的概括. 一.何为最 ...
- 详解动态规划最长公共子序列--JavaScript实现
前面两篇我们讲解了01背包问题和最少硬币找零问题.这篇将介绍另一个经典的动态规划问题--最长公共子序列.如果没看过前两篇,可点击下面链接. 详解动态规划最少硬币找零问题--JavaScript实现 详 ...
- SDUT_2080最长公共子序列问题
点击打开讲解 最长公共子序列问题 Time Limit: 1000MS Memory Limit: 65536KB Submit Statistic Discuss Problem Descripti ...
最新文章
- 编译报错一列----aclocal找不到
- LeetCode Course Schedule II(拓扑排序)
- ios 自己创建的动态frameworks 怎么发布_iPadOS/iOS 13.1 正式发布,这才是真正的 iOS 13 系统...
- php 保护变量,保护PHP中的“包含污染”变量
- Sql Server 按格式输出日期
- [error]Cannot create __weak reference in file using manual refer XCode7.3
- P7078-[CSP-S2020]贪吃蛇【贪心,队列】
- Spring MVC如何测试Controller(使用springmvc mock测试)
- java连接unix_Java 使用 UnixSocket 调用 Docker API
- 全参考客观视频质量评价方法 (MSE, PSNR,SSIM)原理
- 免费的瓦片图集资源TiledMap
- CentOS 7下Red5流媒体服务器的搭建与测试
- Linux代码比对工具meld
- Hello JSP!——指令元素之page篇(最后有疑问求解,感激不尽)
- 他山之石 | 小米小爱Query识别
- 挣脱注意力经济:为什么应该练习数字极简主义?
- arm mali 天梯图_手机最新CPU天梯图 2018年12月手机最新处理器排名表
- echarts统计图表
- Effective C++ 条款02:尽量使用const,enum,inline替换#define
- 爬虫爬取豆瓣排行榜的电影