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对于许多模型，例如逻辑模型，没有共轭先验分布。因此，吉布斯采样不适用。

这篇文章展示了我们如何使用Metropolis-Hastings（MH）从每次Gibbs迭代中的非共轭条件后验对象中进行采样–比网格方法更好的替代方法。

我将说明该算法，给出一些R代码结果，然后分析R代码以识别MH算法中的瓶颈。

模型

此示例的模拟数据是包含患者的横截面数据集。有一个二元因变量Y，一个二元处理变量A，一个因子变量age。年龄是具有3个等级的分类变量。我用贝叶斯逻辑回归建模：

对于Metroplis-in-Gibbs吉布斯采样来说，这是一个相当不错的示例：

我们有一个二进制结果，为此我们采用了非线性链接函数。
我们有一个需要调整的因素。
我们正在估计我们关心的更多参数，但肯定会给采样器带来压力。

非规范条件后验

让我们看一下该模型的（非标准化）条件后验。

此条件分布不是已知分布，因此我们不能简单地使用Gibbs从中进行采样。相反，在每个gibbs迭代中，我们需要另一个采样步骤来从该条件后验中提取。第二个采样器将是MH采样器。

Metroplis-in-Gibbs采样

目标是从中取样。

MH采样器的工作方式如下：

开始采样。
让我们假设将提议分布的方差设置为某个常数。
我们计算在上一次绘制时评估的非标准化密度与当前提议的比率：
如果该比率大于1，则当前提议分布的密度高于先前值的密度。因此，我们“接受”了提议并确定了。然后，我们使用以提议为中心的提议分布重复步骤2-4 ，然后生成新提议。如果该比率小于1，则当前建议值的密度低于先前建议。

因此，总是接受产生更高条件的后验评估的提议。但是，有时仅接受具有较低密度评估的提议-提议的相对密度评估越低，其接受的可能性就越低。

经过多次迭代，从后验的高密度区域开始的抽样被接受，并且被接受的序列“爬升”到高密度区域。一旦序列到达此高密度区域，它将趋于保持在那里。因此，这也类似于模拟退火。

这种表示法很容易扩展到我们的4维示例：提议分布现在是4维多元高斯模型。代替标量方差参数，我们有一个协方差矩阵。因此，我们的建议是系数的向量。从这个意义上讲，我们运行的是Gibbs –使用MH每次迭代绘制整个系数。

跳跃分布的方差是重要的参数。如果方差太小，则当前提议可能会非常接近最后一个值，因此也很可能接近1。因此，我们会非常频繁地接受，但由于接受的值彼此之间非常接近，因此我们会攀升至较高在许多次迭代中慢慢降低密度区域。如果方差太大，则序列到达高密度区域后可能无法保留在该区域。
许多“自适应” MH方法是此处描述的基本算法的变体，但包括调整周期以找到产生最佳接受率的跳跃分布方差。
MH中计算量最大的部分是密度评估。对于每个Gibbs迭代，我们必须两次评估4维密度。
尽管很容易扩展到高维度，但性能本身在高维度上会变差。

结果

这是我们感兴趣的4个参数的MCMC链。红线表示真实值。


for(i in 2:gibbs_iter){# 来自 phi 后验分布的样本gibbs_res[i,p+1] <- rcond_post_phi(gibbs_res[i-1,1:p], alpha, gamma, lambda, p)#  来自beta后验分布的样本 （ 使用 Mh ）mh_draw <- rcond_post_beta_mh(gibbs_res[i-1,1:p], gibbs_res[i,p+1], lambda, X, Y, mh_trials=5, jump_v=.01)}par(mfrow=c(2,2))
plot(gibbs_res[,1],type='l',xlab='MCMC Iterations',ylab=c('Coefficient Draw'),main='Intercept')
abline(h=-1,col='red')
plot(gibbs_res[,2],type='l',xlab='MCMC Iterations',ylab=c('Coefficient Draw'),main='Age1')# 计算后验分布和置信区间
post_burn_trim<-gibbs_res[seq(1000,gibbs_iter,100),]
colMeans(post_burn_trim)
apply(post_burn_trim, 2, quantile, p=c(.025,.975))

有一些改进的空间：

接受率只有18％，我本可以调整跳跃分布协方差矩阵来获得更好的接受率。
我认为更多的迭代肯定会在这里有所帮助。这些链看起来不错，但仍然是自相关的。

关于贝叶斯范式的好处是，所有推断都是使用后验分布完成的。现在，系数估计值是对数化，但是如果我们需要比值，则只需对后验取幂。如果我们想要对比值进行区间估计，那么我们就可以获取指数后验的2.5％和97.5％。

下面是使用R分析，显示了这一点。for循环运行Gibbs迭代。在每个Gibbs迭代中，我都调用函数使用MH从参数向量的条件后验中得出图形。

我们看到子例程log_cond（）是MH运行中的瓶颈。此函数是beta的对数条件后验密度。

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