拓端tecdat|R语言再保险合同定价案例研究

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原文出处：拓端数据部落公众号

再保险案例研究目的是为业务中断索赔定价一些非比例再保险合同。考虑以下数据集，

>  db=read.xls(
+ "PE.xls",
+  sheet=1)
Content type 'application/vnd.ms-excel' length 183808 bytes (179 Kb)
open URL
==================================================
downloaded 179 Kb

至于任何（标准）保险合同，定价中有两个部分

预期的索赔数量
个人索赔的平均费用

在这里，我们没有协变量（但是可以使用某些变量，例如行业的种类，地理位置等）。

让我们从每年的预期索赔数开始。这是每天的频率

是很久以前的数据，但是，这也是一件好事，因为十年后，我们可以预期大多数索赔已经解决。为了绘制上面的图，我们使用

> date=db$DSUR
> D=as.Date(as.character(date),format="%Y%m%d")
> vD=seq(min(D),max(D),by=1)
> sD=table(D)
> d1=as.Date(names(sD))
> d2=vD[-which(vD%in%d1)]
> vecteur.date=c(d1,d2)
> vecteur.cpte=c(as.numeric(sD),rep(0,length(d2)))
> base=data.frame(date=vecteur.date,cpte=vecteur.cpte)
> plot(vecteur.date,vecteur.cpte,type="h",xlim=as.Date(as.character(
+ c(19850101,20111231)),format="%Y%m%d"))

然后，我们可以使用（标准）Poisson回归来预测每日业务中断索赔的数量，例如，在2010年的任何一天（假设我们必须在几年前对再保险合同进行定价）


> pred2010 =predict(regdate,newdata=nd2010,type="response")
> sum(pred2010)
[1] 159.4757

观察使用旧数据有弊端，因为如果我们按时进行回归（包括一些可能的趋势），我们将面临更多不确定性。

假设我们在给定的一年中平均有160项声明。

> plot(D,db$COUTSIN,type="h")

现在让我们集中讨论这些索赔的费用。我们的数据集中有2,400个索赔要求适合模型（或至少估计了再保险合同可能给我们造成的损失）。假设我们想为我们的大额索赔购买再保险合同。在16年的时间里，该可执行文件的费用应接近1500万。

> quantile(db$COUTSIN,1-32/2400)/1e6
98.66667% 15.34579
> abline(h=quantile(db$COUTSIN,1-32/2400),col="blue")

因此，考虑一些免赔额为1500万的再保险合同。让我们假设再保险公司同意这种免赔额，但承保范围为3500万。平均成本（为再保险公司）是E(g(X))

$g(x)=\min\{35,\max\{x-15,0\}\}$

第一个想法是查看我们投资组合中的第一个成本，即该赔偿的经验平均值。

检查一些损失

> indemn(5)
[1] 0
> indemn(20)
[1] 5
> indemn(50)
[1] 35

现在，如果计算再保险公司在16年内的平均还款额，

> mean(indemn(db$COUTSIN/1e6))
[1] 0.1624292

因此，根据索赔，再保险公司将平均支付162,430。每年有160项索赔，纯保费应接近2600万

> mean(indemn(db$COUTSIN/1e6))*160
[1] 25.98867

（同样，对于3,500万份保险，平均每年应发生两次的某些索赔）。正如我们看到的，再保险的标准模型是帕累托分布（或更具体地说，是广义帕累托分布），

这里有三个参数

阈值 $\mu$ （我们将其视为固定阈值，但会看到其对再保险定价的影响）
比例参数 $\sigma$
尾部指数 $\xi$

策略是考虑一个低于我们免赔额的门槛，例如1200万。然后，假设损失超过1200万，我们就可以拟合广义Pareto分布，

> gpd.PLxi         beta
7.004147e-01 4.400115e+06

计算

$\int_{d}^{d+c}(x-d)\ dF_{(\xi,\mu,\sigma)}(x)$

在这里，鉴于索赔超过1200万，平均还款额接近600万

> E(15e6,50e6,gpd.PL[1],gpd.PL[2],12e6)
[1] 6058125

现在，我们必须考虑达到1200万的概率

> mean(db$COUTSIN>12e6)
[1] 0.02639296

因此，如果总结一下，我们每年平均有160项索赔

> p
[1] 159.4757

只有2.6％将超过1200万

> mean(db$COUTSIN>12e6)
[1] 0.02639296

因此，每年发生1200万以上的频率为4.2

> p*mean(db$COUTSIN>12e6)
[1] 4.209036

对于超过1200万的索赔，平均还款额为

> E(15e6,50e6,gpd.PL[1],gpd.PL[2],12e6)
[1] 6058125

因此，纯溢价应接近

> p*mean(db$COUTSIN>12e6)*E(15e6,50e6,gpd.PL[1],gpd.PL[2],12e6)
[1] 25498867

接近我们获得的经验值。实际上，也可以查看阈值参数的影响，很明显，中间值可以更改。

我们可以将纯溢价绘制为该阈值的函数，

> seuils=seq(1e6,15e6,by=1e6)
> plot(seuils,Vectorize(esp)(seuils),type="b",col="red")

对于较大的阈值，该值在24到26之间。同样，这是第一步，我们可以为更高的再保险层定价，例如可抵扣额为5000万的再保险合同（我们之前有低于该门槛的索赔的再保险合同），而承保额为5000万。拥有参数模型变得有趣，该模型应该比经验平均值更健壮。