HDU3032 Nim or not Nim 解题报告：思路与证明

　　　　　　胡明晓

Description

Alice and Bob is tired of playing Nim under the standard rule, so they make a difference by also allowing the player to separate one of the heaps into two smaller ones. That is, each turn the player may either remove any number of objects from a heap or separate a heap into two smaller ones, and the one who takes the last object wins.

Input

Input contains multiple test cases. The first line is an integer 1≤T≤100, the number of test cases. Each case begins with an integer N, indicating the number of the heaps, the next line contains N integers s₀₀, s₁₁, ...., s_N−1N−1, representing heaps with s₀₀, s₁₁, ..., s_N−1N−1 objects respectively.(1≤N≤10⁶, 1≤S_ii≤2³¹-1)

Output

For each test case, output a line which contains either "Alice" or "Bob", which is the winner of this game. Alice will play first. You may asume they never make mistakes.

解题思路

Nim游戏的SG函数计算如下：

g(x) = mex{g(y) | y是x的后继状态}，其中mex S表示S中未出现的最小非负整数。

g(x₀)=0。（x₀为终止状态）

设状态用石子数向量(a₁,…,a_m)表示，特别地，单堆的状态表示成a。

将一堆石子分成两堆，等于将一个一堆的Nim游戏A变成两个一堆游戏的和B，这两个一堆游戏之和也是A的后继状态。计算A的SG函数时，除了考虑普通后继状态之外，还要将B的SG值加入mex计算，而B的SG值是两个成员游戏SG值的异或◎（根据和游戏定理）。

下面计算单堆状态的SG函数。

g(0)=0,

g(1)=mex{g(0)}=1,

g(2)=mex{g(0), g(1), g(1,1)}=mex{ g(0), g(1), g(1)◎g(1))=2,

g(3))=mex{g(0), g(1), g(2), g(1)◎g(2))=mex{0,1,2,3}=4,

g(4)=mex{g(0), g(1), g(2), g(3), g(1)◎g(3)), g(2)◎g(2))=mex{0,1,2,4,5,0}=3,

g(5)=mex{g(0), g(1), g(2), g(3), g(4), g(1)◎g(4), g(2)◎g(3))

=mex{0,1,2,4,3, 1◎3, 2◎4}=5,

g(6)=mex{0,1,2,4,3, 5, 1◎5, 2◎3, 4◎4}=6,

g(7)=mex{0,1,2,4,3, 5, 6, 1◎6, 2◎5, 4◎3}=8,

g(8)=mex{0,1,2,4,3, 5, 6, 8,1◎8, 2◎6, 4◎5, 3◎3}=7,

g(9)=mex{0,1,2,4,3,5,6,8,7, 1◎7, 2◎8, 4◎6, 3◎5}=9,

……

发现规律是g(a)=a，但g(4k+3)与g(4k+4)的值对调一下。即

　　g(a)=a             (a=4k+1或4k+2)

　　g(a)=4k+4       (a=4k+3)                      (*)

　　g(a)=4k+3       (a=4k+4)

严格的证明如下。

证明：设a=4k+r（r=1,2,3,4），k=0,1,……，即按k分成4个一组，对组号k进行数学归纳。

为叙述方便，将后继状态的SG值集合划分成两类：S₁和S₂，分别表示单状态和分解状态的值，即S₁={g(0),g(1),…g(a-1)}，S₂={g(a₁)◎g(a₂) | a₁+a₂=a，a₁>0，a₂>0}。g(a)=mex S=mex(S₁∪S₂)。

当k=0时，显然成立。

假设当k<=m时(*)式成立，于是可以列出非零状态a和g(a)的二进制末两位后缀对应情况，如下表：

　　　　表1

进一步，a₁、a₂和g(a₁)◎g(a₂)的二进制末两位后缀对应情况如下表：

　　　　表2

当k=m+1时，对k组的4个状态a分别证明。

（1）a=4k+1

a的后缀是01，由归纳假设，S₁中0,1,…,a-1各出现一次，而S₂中只有10后缀的值，没有01后缀的值（见表2阴影格子），所以g(a)=a。符合(*)式结果。

（2）a=4k+2

a的后缀是10，由归纳假设及情形（1），S₁中0,1,…,a-1各出现一次，而S₂中有00、01后缀的值，没有10后缀的值（见表2），所以g(a)=a。符合(*)式结果。

（3）a=4k+3

a的后缀是11，由归纳假设及情形（1）（2），S₁中0,1,…,a-1各出现一次，而S₂中全是11后缀的值（见表2），而且能取到a值本身（作分解a=1+(a-1)即能），所以g(a)=a+1=4k+4。符合(*)式结果。

（4）a=4k+4

a的后缀是00，由归纳假设及情形（1）（2）（3），S₁中0,1,…,a-2,a各出现一次，a-1没出现，而S₂中有00、01后缀的值，没有11后缀的值（见表2），也不可能出现a-1，所以g(a)=a-1=4k+3。符合(*)式结果。

总之，k=m+1时，（*）式也成立。证毕。

参考代码：

（待加）